Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50023 / 48485
↖ ↑ ↗
← S 65.009545°
E 94.784546°		 ← 258.04 m → S 65.009545°
E 94.790039°		 →
↑
258.03 m
↓
↑
258.03 m
↓
S 65.011866°
E 94.784546°		 ← 258.02 m →
66 577 m²		 S 65.011866°
E 94.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48485 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763298034667969 y=0.739830017089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763298034667969 × 216)
    floor (0.763298034667969 × 65536)
    floor (50023.5)     		tx = 50023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739830017089844 × 216)
    floor (0.739830017089844 × 65536)
    floor (48485.5)     		ty = 48485
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50023 / 48485 ti = "16/50023/48485"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50023/48485.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50023 ÷ 216
    50023 ÷ 65536     		x = 0.763290405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48485 ÷ 216
    48485 ÷ 65536     		y = 0.739822387695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763290405273438 × 2 - 1) × π
    0.526580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65430241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739822387695312 × 2 - 1) × π
    -0.479644775390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.50684850265685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65430241} λ = 1.65430241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50684850265685))-π/2
    2×atan(0.22160727335316)-π/2
    2×0.218082859519503-π/2
    0.436165719039006-1.57079632675     		φ = -1.13463061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65430241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.784546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13463061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.009545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50023 KachelY 48485 1.65430241 -1.13463061 94.784546 -65.009545
    Oben rechts KachelX + 1 50024 KachelY 48485 1.65439828 -1.13463061 94.790039 -65.009545
    Unten links KachelX 50023 KachelY + 1 48486 1.65430241 -1.13467111 94.784546 -65.011866
    Unten rechts KachelX + 1 50024 KachelY + 1 48486 1.65439828 -1.13467111 94.790039 -65.011866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13463061--1.13467111) × R
    4.04999999998878e-05 × 6371000     		dl = 258.025499999286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13463061--1.13467111) × R
    4.04999999998878e-05 × 6371000     		dr = 258.025499999286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65430241-1.65439828) × cos(-1.13463061) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.422467268439971 × 6371000     		do = 258.037840789033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65430241-1.65439828) × cos(-1.13467111) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.422430559777172 × 6371000     		du = 258.015419586742m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13463061)-sin(-1.13467111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422467268439971-0.422430559777172)×R²
    abs(1.65439828-1.65430241)×3.67086627987012e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.67086627987012e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.67086627987012e-05×40589641000000     		ar = 66577.4502765495m²