Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50023 / 48438
↖ ↑ ↗
← S 64.900250°
E 94.784546°		 ← 259.09 m → S 64.900250°
E 94.790039°		 →
↑
259.11 m
↓
↑
259.11 m
↓
S 64.902580°
E 94.784546°		 ← 259.07 m →
67 130 m²		 S 64.902580°
E 94.790039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48438 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763298034667969 y=0.739112854003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763298034667969 × 216)
    floor (0.763298034667969 × 65536)
    floor (50023.5)     		tx = 50023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739112854003906 × 216)
    floor (0.739112854003906 × 65536)
    floor (48438.5)     		ty = 48438
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50023 / 48438 ti = "16/50023/48438"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50023/48438.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50023 ÷ 216
    50023 ÷ 65536     		x = 0.763290405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48438 ÷ 216
    48438 ÷ 65536     		y = 0.739105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763290405273438 × 2 - 1) × π
    0.526580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65430241
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.47821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.50234243409256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65430241} λ = 1.65430241}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50234243409256))-π/2
    2×atan(0.222608104133833)-π/2
    2×0.21903663857376-π/2
    0.438073277147521-1.57079632675     		φ = -1.13272305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65430241} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.784546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13272305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.900250°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50023 KachelY 48438 1.65430241 -1.13272305 94.784546 -64.900250
    Oben rechts KachelX + 1 50024 KachelY 48438 1.65439828 -1.13272305 94.790039 -64.900250
    Unten links KachelX 50023 KachelY + 1 48439 1.65430241 -1.13276372 94.784546 -64.902580
    Unten rechts KachelX + 1 50024 KachelY + 1 48439 1.65439828 -1.13276372 94.790039 -64.902580
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13272305--1.13276372) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dl = 259.108569999776m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13272305--1.13276372) × R
    4.06699999999649e-05 × 6371000     		dr = 259.108569999776m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65430241-1.65439828) × cos(-1.13272305) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.424195469520891 × 6371000     		do = 259.093404873362m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65430241-1.65439828) × cos(-1.13276372) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.424158639611712 × 6371000     		du = 259.070909615265m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13272305)-sin(-1.13276372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424195469520891-0.424158639611712)×R²
    abs(1.65439828-1.65430241)×3.68299091789703e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.68299091789703e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.68299091789703e-05×40589641000000     		ar = 67130.4072855691m²