Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50022 / 84215
↖ ↑ ↗
← S 45.565987°
W 42.610474°		 ← 213.82 m → S 45.565987°
W 42.607727°		 →
↑
213.81 m
↓
↑
213.81 m
↓
S 45.567910°
W 42.610474°		 ← 213.82 m →
45 717 m²		 S 45.567910°
W 42.607727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381641387939453 y=0.642513275146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381641387939453 × 217)
    floor (0.381641387939453 × 131072)
    floor (50022.5)     		tx = 50022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.642513275146484 × 217)
    floor (0.642513275146484 × 131072)
    floor (84215.5)     		ty = 84215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50022 / 84215 ti = "17/50022/84215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50022/84215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50022 ÷ 217
    50022 ÷ 131072     		x = 0.381637573242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84215 ÷ 217
    84215 ÷ 131072     		y = 0.642509460449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381637573242188 × 2 - 1) × π
    -0.236724853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74369306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.642509460449219 × 2 - 1) × π
    -0.285018920898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.895413348003029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74369306} λ = -0.74369306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.895413348003029))-π/2
    2×atan(0.408438736407766)-π/2
    2×0.387759915156313-π/2
    0.775519830312625-1.57079632675     		φ = -0.79527650
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74369306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.610474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.79527650 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.565987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50022 KachelY 84215 -0.74369306 -0.79527650 -42.610474 -45.565987
    Oben rechts KachelX + 1 50023 KachelY 84215 -0.74364512 -0.79527650 -42.607727 -45.565987
    Unten links KachelX 50022 KachelY + 1 84216 -0.74369306 -0.79531006 -42.610474 -45.567910
    Unten rechts KachelX + 1 50023 KachelY + 1 84216 -0.74364512 -0.79531006 -42.607727 -45.567910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.79527650--0.79531006) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dl = 213.810759999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.79527650--0.79531006) × R
    3.3559999999988e-05 × 6371000     		dr = 213.810759999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74369306--0.74364512) × cos(-0.79527650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700087355987617 × 6371000     		do = 213.824698767021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74369306--0.74364512) × cos(-0.79531006) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.700063391833531 × 6371000     		du = 213.817379497526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.79527650)-sin(-0.79531006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.700087355987617-0.700063391833531)×R²
    abs(-0.74364512--0.74369306)×2.39641540866753e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39641540866753e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39641540866753e-05×40589641000000     		ar = 45717.2388851411m²