Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50022 / 49918
↖ ↑ ↗
← S 68.134760°
E 94.779053°		 ← 227.50 m → S 68.134760°
E 94.784546°		 →
↑
227.51 m
↓
↑
227.51 m
↓
S 68.136806°
E 94.779053°		 ← 227.48 m →
51 755 m²		 S 68.136806°
E 94.784546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50022 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49918 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763282775878906 y=0.761695861816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763282775878906 × 216)
    floor (0.763282775878906 × 65536)
    floor (50022.5)     		tx = 50022
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761695861816406 × 216)
    floor (0.761695861816406 × 65536)
    floor (49918.5)     		ty = 49918
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50022 / 49918 ti = "16/50022/49918"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50022/49918.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50022 ÷ 216
    50022 ÷ 65536     		x = 0.763275146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49918 ÷ 216
    49918 ÷ 65536     		y = 0.761688232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763275146484375 × 2 - 1) × π
    0.52655029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65420653
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761688232421875 × 2 - 1) × π
    -0.52337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64423565696793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65420653} λ = 1.65420653}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64423565696793))-π/2
    2×atan(0.193160146996529)-π/2
    2×0.19081021110715-π/2
    0.3816204222143-1.57079632675     		φ = -1.18917590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65420653} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.779053°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18917590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.134760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50022 KachelY 49918 1.65420653 -1.18917590 94.779053 -68.134760
    Oben rechts KachelX + 1 50023 KachelY 49918 1.65430241 -1.18917590 94.784546 -68.134760
    Unten links KachelX 50022 KachelY + 1 49919 1.65420653 -1.18921161 94.779053 -68.136806
    Unten rechts KachelX + 1 50023 KachelY + 1 49919 1.65430241 -1.18921161 94.784546 -68.136806
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18917590--1.18921161) × R
    3.57100000001331e-05 × 6371000     		dl = 227.508410000848m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18917590--1.18921161) × R
    3.57100000001331e-05 × 6371000     		dr = 227.508410000848m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65420653-1.65430241) × cos(-1.18917590) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372424814835159 × 6371000     		do = 227.496249330633m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65420653-1.65430241) × cos(-1.18921161) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.372391673490576 × 6371000     		du = 227.476004891246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18917590)-sin(-1.18921161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372424814835159-0.372391673490576)×R²
    abs(1.65430241-1.65420653)×3.31413445823214e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.31413445823214e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.31413445823214e-05×40589641000000     		ar = 51755.0070816837m²