Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50021 / 58340
↖ ↑ ↗
← N 19.383705°
W 42.613220°		 ← 288.11 m → N 19.383705°
W 42.610474°		 →
↑
288.10 m
↓
↑
288.10 m
↓
N 19.381114°
W 42.613220°		 ← 288.12 m →
83 005 m²		 N 19.381114°
W 42.610474°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58340 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381633758544922 y=0.445102691650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381633758544922 × 217)
    floor (0.381633758544922 × 131072)
    floor (50021.5)     		tx = 50021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445102691650391 × 217)
    floor (0.445102691650391 × 131072)
    floor (58340.5)     		ty = 58340
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50021 / 58340 ti = "17/50021/58340"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50021/58340.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50021 ÷ 217
    50021 ÷ 131072     		x = 0.381629943847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58340 ÷ 217
    58340 ÷ 131072     		y = 0.445098876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381629943847656 × 2 - 1) × π
    -0.236740112304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.74374100
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445098876953125 × 2 - 1) × π
    0.10980224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.344953929665924
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74374100} λ = -0.74374100}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344953929665924))-π/2
    2×atan(1.41192487031878)-π/2
    2×0.954552896942781-π/2
    1.90910579388556-1.57079632675     		φ = 0.33830947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74374100} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.613220°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33830947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.383705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50021 KachelY 58340 -0.74374100 0.33830947 -42.613220 19.383705
    Oben rechts KachelX + 1 50022 KachelY 58340 -0.74369306 0.33830947 -42.610474 19.383705
    Unten links KachelX 50021 KachelY + 1 58341 -0.74374100 0.33826425 -42.613220 19.381114
    Unten rechts KachelX + 1 50022 KachelY + 1 58341 -0.74369306 0.33826425 -42.610474 19.381114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33830947-0.33826425) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dl = 288.096620000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33830947-0.33826425) × R
    4.52200000000125e-05 × 6371000     		dr = 288.096620000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74374100--0.74369306) × cos(0.33830947) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943317088048654 × 6371000     		do = 288.113319671716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74374100--0.74369306) × cos(0.33826425) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943332095279367 × 6371000     		du = 288.117903266262m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33830947)-sin(0.33826425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943317088048654-0.943332095279367)×R²
    abs(-0.74369306--0.74374100)×1.50072307135707e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50072307135707e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50072307135707e-05×40589641000000     		ar = 83005.1338475658m²