Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50020 / 48775
↖ ↑ ↗
← S 65.674119°
E 94.768066°		 ← 251.63 m → S 65.674119°
E 94.773560°		 →
↑
251.59 m
↓
↑
251.59 m
↓
S 65.676382°
E 94.768066°		 ← 251.60 m →
63 304 m²		 S 65.676382°
E 94.773560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48775 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763252258300781 y=0.744255065917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763252258300781 × 216)
    floor (0.763252258300781 × 65536)
    floor (50020.5)     		tx = 50020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744255065917969 × 216)
    floor (0.744255065917969 × 65536)
    floor (48775.5)     		ty = 48775
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50020 / 48775 ti = "16/50020/48775"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50020/48775.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50020 ÷ 216
    50020 ÷ 65536     		x = 0.76324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48775 ÷ 216
    48775 ÷ 65536     		y = 0.744247436523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76324462890625 × 2 - 1) × π
    0.5264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65401478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744247436523438 × 2 - 1) × π
    -0.488494873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53465190443648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65401478} λ = 1.65401478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53465190443648))-π/2
    2×atan(0.215530703394928)-π/2
    2×0.212283360170314-π/2
    0.424566720340628-1.57079632675     		φ = -1.14622961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65401478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.768066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14622961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.674119°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50020 KachelY 48775 1.65401478 -1.14622961 94.768066 -65.674119
    Oben rechts KachelX + 1 50021 KachelY 48775 1.65411066 -1.14622961 94.773560 -65.674119
    Unten links KachelX 50020 KachelY + 1 48776 1.65401478 -1.14626910 94.768066 -65.676382
    Unten rechts KachelX + 1 50021 KachelY + 1 48776 1.65411066 -1.14626910 94.773560 -65.676382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14622961--1.14626910) × R
    3.94900000000309e-05 × 6371000     		dl = 251.590790000197m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14622961--1.14626910) × R
    3.94900000000309e-05 × 6371000     		dr = 251.590790000197m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65401478-1.65411066) × cos(-1.14622961) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.411926005270205 × 6371000     		do = 251.625609969627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65401478-1.65411066) × cos(-1.14626910) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.411890020977881 × 6371000     		du = 251.603628911405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14622961)-sin(-1.14626910))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411926005270205-0.411890020977881)×R²
    abs(1.65411066-1.65401478)×3.59842923232656e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.59842923232656e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.59842923232656e-05×40589641000000     		ar = 63303.9208890555m²