Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50020 / 48491
↖ ↑ ↗
← S 65.023466°
E 94.768066°		 ← 257.93 m → S 65.023466°
E 94.773560°		 →
↑
257.90 m
↓
↑
257.90 m
↓
S 65.025785°
E 94.768066°		 ← 257.91 m →
66 517 m²		 S 65.025785°
E 94.773560°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48491 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763252258300781 y=0.739921569824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763252258300781 × 216)
    floor (0.763252258300781 × 65536)
    floor (50020.5)     		tx = 50020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739921569824219 × 216)
    floor (0.739921569824219 × 65536)
    floor (48491.5)     		ty = 48491
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50020 / 48491 ti = "16/50020/48491"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50020/48491.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50020 ÷ 216
    50020 ÷ 65536     		x = 0.76324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48491 ÷ 216
    48491 ÷ 65536     		y = 0.739913940429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76324462890625 × 2 - 1) × π
    0.5264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65401478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739913940429688 × 2 - 1) × π
    -0.479827880859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.50742374545229
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65401478} λ = 1.65401478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50742374545229))-π/2
    2×atan(0.221479832024113)-π/2
    2×0.217961380565431-π/2
    0.435922761130862-1.57079632675     		φ = -1.13487357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65401478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.768066°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13487357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.023466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50020 KachelY 48491 1.65401478 -1.13487357 94.768066 -65.023466
    Oben rechts KachelX + 1 50021 KachelY 48491 1.65411066 -1.13487357 94.773560 -65.023466
    Unten links KachelX 50020 KachelY + 1 48492 1.65401478 -1.13491405 94.768066 -65.025785
    Unten rechts KachelX + 1 50021 KachelY + 1 48492 1.65411066 -1.13491405 94.773560 -65.025785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13487357--1.13491405) × R
    4.04799999997874e-05 × 6371000     		dl = 257.898079998645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13487357--1.13491405) × R
    4.04799999997874e-05 × 6371000     		dr = 257.898079998645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65401478-1.65411066) × cos(-1.13487357) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.422247042330239 × 6371000     		do = 257.93023073288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65401478-1.65411066) × cos(-1.13491405) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.422210347641635 × 6371000     		du = 257.907815728038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13487357)-sin(-1.13491405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.422247042330239-0.422210347641635)×R²
    abs(1.65411066-1.65401478)×3.66946886038444e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.66946886038444e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.66946886038444e-05×40589641000000     		ar = 66516.8208952645m²