Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5002 / 5158
↖ ↑ ↗
← S 42.228518°
E 39.814453°		 ← 3 618.30 m → S 42.228518°
E 39.858399°		 →
↑
3 617.33 m
↓
↑
3 617.33 m
↓
S 42.261049°
E 39.814453°		 ← 3 616.44 m →
13 085 208 m²		 S 42.261049°
E 39.858399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61065673828125 y=0.62969970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61065673828125 × 213)
    floor (0.61065673828125 × 8192)
    floor (5002.5)     		tx = 5002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62969970703125 × 213)
    floor (0.62969970703125 × 8192)
    floor (5158.5)     		ty = 5158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5002 / 5158 ti = "13/5002/5158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5002/5158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5002 ÷ 213
    5002 ÷ 8192     		x = 0.610595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5158 ÷ 213
    5158 ÷ 8192     		y = 0.629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610595703125 × 2 - 1) × π
    0.22119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69489330
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.25927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.814543798343994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69489330} λ = 0.69489330}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814543798343994))-π/2
    2×atan(0.442841306223549)-π/2
    2×0.416884830355363-π/2
    0.833769660710726-1.57079632675     		φ = -0.73702667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69489330} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73702667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.228518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5002 KachelY 5158 0.69489330 -0.73702667 39.814453 -42.228518
    Oben rechts KachelX + 1 5003 KachelY 5158 0.69566029 -0.73702667 39.858399 -42.228518
    Unten links KachelX 5002 KachelY + 1 5159 0.69489330 -0.73759445 39.814453 -42.261049
    Unten rechts KachelX + 1 5003 KachelY + 1 5159 0.69566029 -0.73759445 39.858399 -42.261049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73702667--0.73759445) × R
    0.000567780000000018 × 6371000     		dl = 3617.32638000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73702667--0.73759445) × R
    0.000567780000000018 × 6371000     		dr = 3617.32638000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69489330-0.69566029) × cos(-0.73702667) × R
    0.000766989999999912 × 0.74047017196791 × 6371000     		do = 3618.30252676592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69489330-0.69566029) × cos(-0.73759445) × R
    0.000766989999999912 × 0.74008845381485 × 6371000     		du = 3616.43726357232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73702667)-sin(-0.73759445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74047017196791-0.74008845381485)×R²
    abs(0.69566029-0.69489330)×0.000381718153059984×R²
    0.000766989999999912×0.000381718153059984×6371000²
    0.000766989999999912×0.000381718153059984×40589641000000     		ar = 13085207.8995403m²