Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50019 / 58456
↖ ↑ ↗
← N 19.082884°
W 42.618713°		 ← 288.64 m → N 19.082884°
W 42.615967°		 →
↑
288.61 m
↓
↑
288.61 m
↓
N 19.080289°
W 42.618713°		 ← 288.65 m →
83 304 m²		 N 19.080289°
W 42.615967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381618499755859 y=0.445987701416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381618499755859 × 217)
    floor (0.381618499755859 × 131072)
    floor (50019.5)     		tx = 50019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445987701416016 × 217)
    floor (0.445987701416016 × 131072)
    floor (58456.5)     		ty = 58456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50019 / 58456 ti = "17/50019/58456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50019/58456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50019 ÷ 217
    50019 ÷ 131072     		x = 0.381614685058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58456 ÷ 217
    58456 ÷ 131072     		y = 0.44598388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381614685058594 × 2 - 1) × π
    -0.236770629882812 × 3.1415926535     		Λ = -0.74383687
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44598388671875 × 2 - 1) × π
    0.1080322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.339393249309998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74383687} λ = -0.74383687}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339393249309998))-π/2
    2×atan(1.4040953962045)-π/2
    2×0.951927744904038-π/2
    1.90385548980808-1.57079632675     		φ = 0.33305916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74383687} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.618713°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33305916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.082884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50019 KachelY 58456 -0.74383687 0.33305916 -42.618713 19.082884
    Oben rechts KachelX + 1 50020 KachelY 58456 -0.74378893 0.33305916 -42.615967 19.082884
    Unten links KachelX 50019 KachelY + 1 58457 -0.74383687 0.33301386 -42.618713 19.080289
    Unten rechts KachelX + 1 50020 KachelY + 1 58457 -0.74378893 0.33301386 -42.615967 19.080289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33305916-0.33301386) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dl = 288.606300000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33305916-0.33301386) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dr = 288.606300000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74383687--0.74378893) × cos(0.33305916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945046618857596 × 6371000     		do = 288.64156289889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74383687--0.74378893) × cos(0.33301386) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.945061428070724 × 6371000     		du = 288.646086013769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33305916)-sin(0.33301386))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945046618857596-0.945061428070724)×R²
    abs(-0.74378893--0.74383687)×1.48092131281308e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48092131281308e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48092131281308e-05×40589641000000     		ar = 83304.4262084734m²