Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50018 / 58210
↖ ↑ ↗
← N 19.720171°
W 42.621460°		 ← 287.51 m → N 19.720171°
W 42.618713°		 →
↑
287.52 m
↓
↑
287.52 m
↓
N 19.717586°
W 42.621460°		 ← 287.52 m →
82 667 m²		 N 19.717586°
W 42.618713°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381610870361328 y=0.444110870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381610870361328 × 217)
    floor (0.381610870361328 × 131072)
    floor (50018.5)     		tx = 50018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444110870361328 × 217)
    floor (0.444110870361328 × 131072)
    floor (58210.5)     		ty = 58210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50018 / 58210 ti = "17/50018/58210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50018/58210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50018 ÷ 217
    50018 ÷ 131072     		x = 0.381607055664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58210 ÷ 217
    58210 ÷ 131072     		y = 0.444107055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381607055664062 × 2 - 1) × π
    -0.236785888671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74388481
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444107055664062 × 2 - 1) × π
    0.111785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.351185726616531
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74388481} λ = -0.74388481}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351185726616531))-π/2
    2×atan(1.42075117271799)-π/2
    2×0.957489122791141-π/2
    1.91497824558228-1.57079632675     		φ = 0.34418192
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74388481} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.621460°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34418192 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.720171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50018 KachelY 58210 -0.74388481 0.34418192 -42.621460 19.720171
    Oben rechts KachelX + 1 50019 KachelY 58210 -0.74383687 0.34418192 -42.618713 19.720171
    Unten links KachelX 50018 KachelY + 1 58211 -0.74388481 0.34413679 -42.621460 19.717586
    Unten rechts KachelX + 1 50019 KachelY + 1 58211 -0.74383687 0.34413679 -42.618713 19.717586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34418192-0.34413679) × R
    4.51299999999488e-05 × 6371000     		dl = 287.523229999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34418192-0.34413679) × R
    4.51299999999488e-05 × 6371000     		dr = 287.523229999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74388481--0.74383687) × cos(0.34418192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94135180960372 × 6371000     		do = 287.513073048367m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74388481--0.74383687) × cos(0.34413679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941367036711563 × 6371000     		du = 287.517723799048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34418192)-sin(0.34413679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94135180960372-0.941367036711563)×R²
    abs(-0.74383687--0.74388481)×1.52271078429633e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52271078429633e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52271078429633e-05×40589641000000     		ar = 82667.3560434093m²