Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50015 / 48891
↖ ↑ ↗
← S 65.935274°
E 94.740601°		 ← 249.06 m → S 65.935274°
E 94.746094°		 →
↑
249.11 m
↓
↑
249.11 m
↓
S 65.937515°
E 94.740601°		 ← 249.04 m →
62 040 m²		 S 65.937515°
E 94.746094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50015 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763175964355469 y=0.746025085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763175964355469 × 216)
    floor (0.763175964355469 × 65536)
    floor (50015.5)     		tx = 50015
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746025085449219 × 216)
    floor (0.746025085449219 × 65536)
    floor (48891.5)     		ty = 48891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50015 / 48891 ti = "16/50015/48891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50015/48891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50015 ÷ 216
    50015 ÷ 65536     		x = 0.763168334960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48891 ÷ 216
    48891 ÷ 65536     		y = 0.746017456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763168334960938 × 2 - 1) × π
    0.526336669921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65353542
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746017456054688 × 2 - 1) × π
    -0.492034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54577326514833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65353542} λ = 1.65353542}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54577326514833))-π/2
    2×atan(0.213146988344481)-π/2
    2×0.21000434649754-π/2
    0.420008692995079-1.57079632675     		φ = -1.15078763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65353542} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.740601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15078763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.935274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50015 KachelY 48891 1.65353542 -1.15078763 94.740601 -65.935274
    Oben rechts KachelX + 1 50016 KachelY 48891 1.65363129 -1.15078763 94.746094 -65.935274
    Unten links KachelX 50015 KachelY + 1 48892 1.65353542 -1.15082673 94.740601 -65.937515
    Unten rechts KachelX + 1 50016 KachelY + 1 48892 1.65363129 -1.15082673 94.746094 -65.937515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15078763--1.15082673) × R
    3.90999999999586e-05 × 6371000     		dl = 249.106099999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15078763--1.15082673) × R
    3.90999999999586e-05 × 6371000     		dr = 249.106099999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65353542-1.65363129) × cos(-1.15078763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407768393991386 × 6371000     		do = 249.059948042475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65353542-1.65363129) × cos(-1.15082673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407732692040787 × 6371000     		du = 249.038141727684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15078763)-sin(-1.15082673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407768393991386-0.407732692040787)×R²
    abs(1.65363129-1.65353542)×3.5701950599154e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5701950599154e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5701950599154e-05×40589641000000     		ar = 62039.6362880257m²