Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50014 / 48891
↖ ↑ ↗
← S 65.935274°
E 94.735107°		 ← 249.09 m → S 65.935274°
E 94.740601°		 →
↑
249.11 m
↓
↑
249.11 m
↓
S 65.937515°
E 94.735107°		 ← 249.06 m →
62 046 m²		 S 65.937515°
E 94.740601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763160705566406 y=0.746025085449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763160705566406 × 216)
    floor (0.763160705566406 × 65536)
    floor (50014.5)     		tx = 50014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746025085449219 × 216)
    floor (0.746025085449219 × 65536)
    floor (48891.5)     		ty = 48891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50014 / 48891 ti = "16/50014/48891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50014/48891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50014 ÷ 216
    50014 ÷ 65536     		x = 0.763153076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48891 ÷ 216
    48891 ÷ 65536     		y = 0.746017456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763153076171875 × 2 - 1) × π
    0.52630615234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65343954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746017456054688 × 2 - 1) × π
    -0.492034912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54577326514833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65343954} λ = 1.65343954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54577326514833))-π/2
    2×atan(0.213146988344481)-π/2
    2×0.21000434649754-π/2
    0.420008692995079-1.57079632675     		φ = -1.15078763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65343954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.735107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15078763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.935274°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50014 KachelY 48891 1.65343954 -1.15078763 94.735107 -65.935274
    Oben rechts KachelX + 1 50015 KachelY 48891 1.65353542 -1.15078763 94.740601 -65.935274
    Unten links KachelX 50014 KachelY + 1 48892 1.65343954 -1.15082673 94.735107 -65.937515
    Unten rechts KachelX + 1 50015 KachelY + 1 48892 1.65353542 -1.15082673 94.740601 -65.937515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15078763--1.15082673) × R
    3.90999999999586e-05 × 6371000     		dl = 249.106099999736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15078763--1.15082673) × R
    3.90999999999586e-05 × 6371000     		dr = 249.106099999736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65343954-1.65353542) × cos(-1.15078763) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.407768393991386 × 6371000     		do = 249.085926967275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65343954-1.65353542) × cos(-1.15082673) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.407732692040787 × 6371000     		du = 249.064118377912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15078763)-sin(-1.15082673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.407768393991386-0.407732692040787)×R²
    abs(1.65353542-1.65343954)×3.5701950599154e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.5701950599154e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.5701950599154e-05×40589641000000     		ar = 62046.1075133609m²