Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50013 / 58452
↖ ↑ ↗
← N 19.093267°
W 42.635193°		 ← 288.56 m → N 19.093267°
W 42.632447°		 →
↑
288.61 m
↓
↑
288.61 m
↓
N 19.090671°
W 42.635193°		 ← 288.57 m →
83 282 m²		 N 19.090671°
W 42.632447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381572723388672 y=0.445957183837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381572723388672 × 217)
    floor (0.381572723388672 × 131072)
    floor (50013.5)     		tx = 50013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445957183837891 × 217)
    floor (0.445957183837891 × 131072)
    floor (58452.5)     		ty = 58452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50013 / 58452 ti = "17/50013/58452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50013/58452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50013 ÷ 217
    50013 ÷ 131072     		x = 0.381568908691406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58452 ÷ 217
    58452 ÷ 131072     		y = 0.445953369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381568908691406 × 2 - 1) × π
    -0.236862182617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.74412449
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445953369140625 × 2 - 1) × π
    0.10809326171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.339584996908478
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74412449} λ = -0.74412449}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339584996908478))-π/2
    2×atan(1.4043646539387)-π/2
    2×0.952018347273336-π/2
    1.90403669454667-1.57079632675     		φ = 0.33324037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74412449} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.635193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33324037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.093267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50013 KachelY 58452 -0.74412449 0.33324037 -42.635193 19.093267
    Oben rechts KachelX + 1 50014 KachelY 58452 -0.74407656 0.33324037 -42.632447 19.093267
    Unten links KachelX 50013 KachelY + 1 58453 -0.74412449 0.33319507 -42.635193 19.090671
    Unten rechts KachelX + 1 50014 KachelY + 1 58453 -0.74407656 0.33319507 -42.632447 19.090671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33324037-0.33319507) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dl = 288.606300000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33324037-0.33319507) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dr = 288.606300000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74412449--0.74407656) × cos(0.33324037) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944987359341112 × 6371000     		do = 288.563258372918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74412449--0.74407656) × cos(0.33319507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.945002176311769 × 6371000     		du = 288.567782913156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33324037)-sin(0.33319507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944987359341112-0.945002176311769)×R²
    abs(-0.74407656--0.74412449)×1.48169706567503e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48169706567503e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48169706567503e-05×40589641000000     		ar = 83281.8272347087m²