Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50013 / 49957
↖ ↑ ↗
← S 68.214408°
E 94.729614°		 ← 226.68 m → S 68.214408°
E 94.735107°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
S 68.216447°
E 94.729614°		 ← 226.66 m →
51 383 m²		 S 68.216447°
E 94.735107°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763145446777344 y=0.762290954589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763145446777344 × 216)
    floor (0.763145446777344 × 65536)
    floor (50013.5)     		tx = 50013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762290954589844 × 216)
    floor (0.762290954589844 × 65536)
    floor (49957.5)     		ty = 49957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50013 / 49957 ti = "16/50013/49957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50013/49957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50013 ÷ 216
    50013 ÷ 65536     		x = 0.763137817382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49957 ÷ 216
    49957 ÷ 65536     		y = 0.762283325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763137817382812 × 2 - 1) × π
    0.526275634765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65334367
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762283325195312 × 2 - 1) × π
    -0.524566650390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.64797473513829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65334367} λ = 1.65334367}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64797473513829))-π/2
    2×atan(0.192439254683747)-π/2
    2×0.190115155245264-π/2
    0.380230310490527-1.57079632675     		φ = -1.19056602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65334367} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.729614°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19056602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.214408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50013 KachelY 49957 1.65334367 -1.19056602 94.729614 -68.214408
    Oben rechts KachelX + 1 50014 KachelY 49957 1.65343954 -1.19056602 94.735107 -68.214408
    Unten links KachelX 50013 KachelY + 1 49958 1.65334367 -1.19060160 94.729614 -68.216447
    Unten rechts KachelX + 1 50014 KachelY + 1 49958 1.65343954 -1.19060160 94.735107 -68.216447
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19056602--1.19060160) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dl = 226.680180000223m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19056602--1.19060160) × R
    3.5580000000035e-05 × 6371000     		dr = 226.680180000223m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65334367-1.65343954) × cos(-1.19056602) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371134337349808 × 6371000     		do = 226.684314280312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65334367-1.65343954) × cos(-1.19060160) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371101298267481 × 6371000     		du = 226.664134412895m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19056602)-sin(-1.19060160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371134337349808-0.371101298267481)×R²
    abs(1.65343954-1.65334367)×3.30390823273796e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30390823273796e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30390823273796e-05×40589641000000     		ar = 51382.5539818207m²