Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50012 / 49802
↖ ↑ ↗
← S 67.896221°
E 94.724121°		 ← 229.85 m → S 67.896221°
E 94.729614°		 →
↑
229.80 m
↓
↑
229.80 m
↓
S 67.898287°
E 94.724121°		 ← 229.83 m →
52 819 m²		 S 67.898287°
E 94.729614°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763130187988281 y=0.759925842285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763130187988281 × 216)
    floor (0.763130187988281 × 65536)
    floor (50012.5)     		tx = 50012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759925842285156 × 216)
    floor (0.759925842285156 × 65536)
    floor (49802.5)     		ty = 49802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50012 / 49802 ti = "16/50012/49802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50012/49802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50012 ÷ 216
    50012 ÷ 65536     		x = 0.76312255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49802 ÷ 216
    49802 ÷ 65536     		y = 0.759918212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76312255859375 × 2 - 1) × π
    0.5262451171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65324779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759918212890625 × 2 - 1) × π
    -0.51983642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63311429625607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65324779} λ = 1.65324779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63311429625607))-π/2
    2×atan(0.195320340547085)-π/2
    2×0.192891864691037-π/2
    0.385783729382073-1.57079632675     		φ = -1.18501260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65324779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.724121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18501260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.896221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50012 KachelY 49802 1.65324779 -1.18501260 94.724121 -67.896221
    Oben rechts KachelX + 1 50013 KachelY 49802 1.65334367 -1.18501260 94.729614 -67.896221
    Unten links KachelX 50012 KachelY + 1 49803 1.65324779 -1.18504867 94.724121 -67.898287
    Unten rechts KachelX + 1 50013 KachelY + 1 49803 1.65334367 -1.18504867 94.729614 -67.898287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18501260--1.18504867) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dl = 229.801969999641m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18501260--1.18504867) × R
    3.60699999999436e-05 × 6371000     		dr = 229.801969999641m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65324779-1.65334367) × cos(-1.18501260) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376285378098893 × 6371000     		do = 229.854480113918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65324779-1.65334367) × cos(-1.18504867) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.376251958861608 × 6371000     		du = 229.834065923362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18501260)-sin(-1.18504867))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376285378098893-0.376251958861608)×R²
    abs(1.65334367-1.65324779)×3.34192372848929e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.34192372848929e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.34192372848929e-05×40589641000000     		ar = 52818.6667383629m²