Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50010 / 48890
↖ ↑ ↗
← S 65.933035°
E 94.713135°		 ← 249.08 m → S 65.933035°
E 94.718628°		 →
↑
249.04 m
↓
↑
249.04 m
↓
S 65.935274°
E 94.713135°		 ← 249.06 m →
62 029 m²		 S 65.935274°
E 94.718628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763099670410156 y=0.746009826660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763099670410156 × 216)
    floor (0.763099670410156 × 65536)
    floor (50010.5)     		tx = 50010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746009826660156 × 216)
    floor (0.746009826660156 × 65536)
    floor (48890.5)     		ty = 48890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50010 / 48890 ti = "16/50010/48890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50010/48890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50010 ÷ 216
    50010 ÷ 65536     		x = 0.763092041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48890 ÷ 216
    48890 ÷ 65536     		y = 0.746002197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763092041015625 × 2 - 1) × π
    0.52618408203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65305605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746002197265625 × 2 - 1) × π
    -0.49200439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54567739134909
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65305605} λ = 1.65305605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54567739134909))-π/2
    2×atan(0.213167424535682)-π/2
    2×0.210023894505553-π/2
    0.420047789011105-1.57079632675     		φ = -1.15074854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65305605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.713135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15074854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.933035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50010 KachelY 48890 1.65305605 -1.15074854 94.713135 -65.933035
    Oben rechts KachelX + 1 50011 KachelY 48890 1.65315192 -1.15074854 94.718628 -65.933035
    Unten links KachelX 50010 KachelY + 1 48891 1.65305605 -1.15078763 94.713135 -65.935274
    Unten rechts KachelX + 1 50011 KachelY + 1 48891 1.65315192 -1.15078763 94.718628 -65.935274
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15074854--1.15078763) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dl = 249.042390000124m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15074854--1.15078763) × R
    3.90900000000194e-05 × 6371000     		dr = 249.042390000124m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65305605-1.65315192) × cos(-1.15074854) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.40780408618789 × 6371000     		do = 249.081748399584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65305605-1.65315192) × cos(-1.15078763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.407768393991386 × 6371000     		du = 249.059948042475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15074854)-sin(-1.15078763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.40780408618789-0.407768393991386)×R²
    abs(1.65315192-1.65305605)×3.56921965042889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.56921965042889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.56921965042889e-05×40589641000000     		ar = 62029.1993280963m²