Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50008 / 50904
↖ ↑ ↗
← S 70.065584°
E 94.702149°		 ← 208.24 m → S 70.065584°
E 94.707641°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
S 70.067457°
E 94.702149°		 ← 208.23 m →
43 369 m²		 S 70.067457°
E 94.707641°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763069152832031 y=0.776741027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763069152832031 × 216)
    floor (0.763069152832031 × 65536)
    floor (50008.5)     		tx = 50008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776741027832031 × 216)
    floor (0.776741027832031 × 65536)
    floor (50904.5)     		ty = 50904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50008 / 50904 ti = "16/50008/50904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50008/50904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50008 ÷ 216
    50008 ÷ 65536     		x = 0.7630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50904 ÷ 216
    50904 ÷ 65536     		y = 0.7767333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7630615234375 × 2 - 1) × π
    0.526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65286430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.553466796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73876722301868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65286430} λ = 1.65286430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73876722301868))-π/2
    2×atan(0.17573691155406)-π/2
    2×0.173960591116688-π/2
    0.347921182233375-1.57079632675     		φ = -1.22287514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65286430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.702149°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22287514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.065584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50008 KachelY 50904 1.65286430 -1.22287514 94.702149 -70.065584
    Oben rechts KachelX + 1 50009 KachelY 50904 1.65296017 -1.22287514 94.707641 -70.065584
    Unten links KachelX 50008 KachelY + 1 50905 1.65286430 -1.22290783 94.702149 -70.067457
    Unten rechts KachelX + 1 50009 KachelY + 1 50905 1.65296017 -1.22290783 94.707641 -70.067457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22287514--1.22290783) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dl = 208.267990000366m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22287514--1.22290783) × R
    3.26900000000574e-05 × 6371000     		dr = 208.267990000366m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65286430-1.65296017) × cos(-1.22287514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340944287551892 × 6371000     		do = 208.244601088054m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65286430-1.65296017) × cos(-1.22290783) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.340913556040008 × 6371000     		du = 208.225830656442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22287514)-sin(-1.22290783))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.340944287551892-0.340913556040008)×R²
    abs(1.65296017-1.65286430)×3.07315118833196e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07315118833196e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07315118833196e-05×40589641000000     		ar = 43368.7298607461m²