Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50007 / 49755
↖ ↑ ↗
← S 67.798869°
E 94.696656°		 ← 230.79 m → S 67.798869°
E 94.702149°		 →
↑
230.76 m
↓
↑
230.76 m
↓
S 67.800944°
E 94.696656°		 ← 230.77 m →
53 255 m²		 S 67.800944°
E 94.702149°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49755 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763053894042969 y=0.759208679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763053894042969 × 216)
    floor (0.763053894042969 × 65536)
    floor (50007.5)     		tx = 50007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759208679199219 × 216)
    floor (0.759208679199219 × 65536)
    floor (49755.5)     		ty = 49755
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50007 / 49755 ti = "16/50007/49755"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50007/49755.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50007 ÷ 216
    50007 ÷ 65536     		x = 0.763046264648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49755 ÷ 216
    49755 ÷ 65536     		y = 0.759201049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763046264648438 × 2 - 1) × π
    0.526092529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65276843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759201049804688 × 2 - 1) × π
    -0.518402099609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62860822769179
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65276843} λ = 1.65276843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62860822769179))-π/2
    2×atan(0.196202453331351)-π/2
    2×0.193741420312214-π/2
    0.387482840624428-1.57079632675     		φ = -1.18331349
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65276843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.696656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18331349 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.798869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50007 KachelY 49755 1.65276843 -1.18331349 94.696656 -67.798869
    Oben rechts KachelX + 1 50008 KachelY 49755 1.65286430 -1.18331349 94.702149 -67.798869
    Unten links KachelX 50007 KachelY + 1 49756 1.65276843 -1.18334971 94.696656 -67.800944
    Unten rechts KachelX + 1 50008 KachelY + 1 49756 1.65286430 -1.18334971 94.702149 -67.800944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18331349--1.18334971) × R
    3.62200000001422e-05 × 6371000     		dl = 230.757620000906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18331349--1.18334971) × R
    3.62200000001422e-05 × 6371000     		dr = 230.757620000906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65276843-1.65286430) × cos(-1.18331349) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3778590660709 × 6371000     		do = 230.791696339722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65276843-1.65286430) × cos(-1.18334971) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377825531060666 × 6371000     		du = 230.771213565605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18331349)-sin(-1.18334971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3778590660709-0.377825531060666)×R²
    abs(1.65286430-1.65276843)×3.35350102338428e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35350102338428e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35350102338428e-05×40589641000000     		ar = 53254.5792909501m²