Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50006 / 50879
↖ ↑ ↗
← S 70.018710°
E 94.691162°		 ← 208.74 m → S 70.018710°
E 94.696656°		 →
↑
208.71 m
↓
↑
208.71 m
↓
S 70.020587°
E 94.691162°		 ← 208.72 m →
43 564 m²		 S 70.020587°
E 94.696656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50879 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763038635253906 y=0.776359558105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763038635253906 × 216)
    floor (0.763038635253906 × 65536)
    floor (50006.5)     		tx = 50006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776359558105469 × 216)
    floor (0.776359558105469 × 65536)
    floor (50879.5)     		ty = 50879
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50006 / 50879 ti = "16/50006/50879"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50006/50879.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50006 ÷ 216
    50006 ÷ 65536     		x = 0.763031005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50879 ÷ 216
    50879 ÷ 65536     		y = 0.776351928710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763031005859375 × 2 - 1) × π
    0.52606201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65267255
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776351928710938 × 2 - 1) × π
    -0.552703857421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.73637037803767
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65267255} λ = 1.65267255}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73637037803767))-π/2
    2×atan(0.176158630884532)-π/2
    2×0.174369647044588-π/2
    0.348739294089177-1.57079632675     		φ = -1.22205703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65267255} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.691162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22205703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.018710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50006 KachelY 50879 1.65267255 -1.22205703 94.691162 -70.018710
    Oben rechts KachelX + 1 50007 KachelY 50879 1.65276843 -1.22205703 94.696656 -70.018710
    Unten links KachelX 50006 KachelY + 1 50880 1.65267255 -1.22208979 94.691162 -70.020587
    Unten rechts KachelX + 1 50007 KachelY + 1 50880 1.65276843 -1.22208979 94.696656 -70.020587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22205703--1.22208979) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dl = 208.713960000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22205703--1.22208979) × R
    3.27600000000761e-05 × 6371000     		dr = 208.713960000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65267255-1.65276843) × cos(-1.22205703) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.341713265083137 × 6371000     		do = 208.736053712013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65267255-1.65276843) × cos(-1.22208979) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.341682476912264 × 6371000     		du = 208.717246712269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22205703)-sin(-1.22208979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341713265083137-0.341682476912264)×R²
    abs(1.65276843-1.65267255)×3.07881708723756e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.07881708723756e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.07881708723756e-05×40589641000000     		ar = 43564.16572731m²