Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50004 / 48883
↖ ↑ ↗
← S 65.917349°
E 94.680176°		 ← 249.26 m → S 65.917349°
E 94.685669°		 →
↑
249.23 m
↓
↑
249.23 m
↓
S 65.919590°
E 94.680176°		 ← 249.24 m →
62 121 m²		 S 65.919590°
E 94.685669°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48883 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763008117675781 y=0.745903015136719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763008117675781 × 216)
    floor (0.763008117675781 × 65536)
    floor (50004.5)     		tx = 50004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745903015136719 × 216)
    floor (0.745903015136719 × 65536)
    floor (48883.5)     		ty = 48883
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50004 / 48883 ti = "16/50004/48883"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50004/48883.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50004 ÷ 216
    50004 ÷ 65536     		x = 0.76300048828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48883 ÷ 216
    48883 ÷ 65536     		y = 0.745895385742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76300048828125 × 2 - 1) × π
    0.5260009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65248080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745895385742188 × 2 - 1) × π
    -0.491790771484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.54500627475441
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65248080} λ = 1.65248080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54500627475441))-π/2
    2×atan(0.21331053274751)-π/2
    2×0.210160778484662-π/2
    0.420321556969323-1.57079632675     		φ = -1.15047477
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65248080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.680176°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15047477 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.917349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50004 KachelY 48883 1.65248080 -1.15047477 94.680176 -65.917349
    Oben rechts KachelX + 1 50005 KachelY 48883 1.65257668 -1.15047477 94.685669 -65.917349
    Unten links KachelX 50004 KachelY + 1 48884 1.65248080 -1.15051389 94.680176 -65.919590
    Unten rechts KachelX + 1 50005 KachelY + 1 48884 1.65257668 -1.15051389 94.685669 -65.919590
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15047477--1.15051389) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dl = 249.233520000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15047477--1.15051389) × R
    3.91200000000591e-05 × 6371000     		dr = 249.233520000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65248080-1.65257668) × cos(-1.15047477) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.408054041926648 × 6371000     		do = 249.260415430711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65248080-1.65257668) × cos(-1.15051389) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.408018326706263 × 6371000     		du = 249.238598735481m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15047477)-sin(-1.15051389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408054041926648-0.408018326706263)×R²
    abs(1.65257668-1.65248080)×3.57152203852573e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.57152203852573e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.57152203852573e-05×40589641000000     		ar = 62121.3320168579m²