Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50003 / 50877
↖ ↑ ↗
← S 70.014956°
E 94.674683°		 ← 208.75 m → S 70.014956°
E 94.680176°		 →
↑
208.78 m
↓
↑
208.78 m
↓
S 70.016833°
E 94.674683°		 ← 208.73 m →
43 581 m²		 S 70.016833°
E 94.680176°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762992858886719 y=0.776329040527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762992858886719 × 216)
    floor (0.762992858886719 × 65536)
    floor (50003.5)     		tx = 50003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776329040527344 × 216)
    floor (0.776329040527344 × 65536)
    floor (50877.5)     		ty = 50877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50003 / 50877 ti = "16/50003/50877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50003/50877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50003 ÷ 216
    50003 ÷ 65536     		x = 0.762985229492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50877 ÷ 216
    50877 ÷ 65536     		y = 0.776321411132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762985229492188 × 2 - 1) × π
    0.525970458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65238493
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776321411132812 × 2 - 1) × π
    -0.552642822265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73617863043919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65238493} λ = 1.65238493}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73617863043919))-π/2
    2×atan(0.176192412117587)-π/2
    2×0.174402411345356-π/2
    0.348804822690711-1.57079632675     		φ = -1.22199150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65238493} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.674683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22199150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.014956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50003 KachelY 50877 1.65238493 -1.22199150 94.674683 -70.014956
    Oben rechts KachelX + 1 50004 KachelY 50877 1.65248080 -1.22199150 94.680176 -70.014956
    Unten links KachelX 50003 KachelY + 1 50878 1.65238493 -1.22202427 94.674683 -70.016833
    Unten rechts KachelX + 1 50004 KachelY + 1 50878 1.65248080 -1.22202427 94.680176 -70.016833
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22199150--1.22202427) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dl = 208.777670000097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22199150--1.22202427) × R
    3.27700000000153e-05 × 6371000     		dr = 208.777670000097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65238493-1.65248080) × cos(-1.22199150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341774849722469 × 6371000     		do = 208.751898304067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65238493-1.65248080) × cos(-1.22202427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341744052887277 × 6371000     		du = 208.733087973777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22199150)-sin(-1.22202427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341774849722469-0.341744052887277)×R²
    abs(1.65248080-1.65238493)×3.07968351925259e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07968351925259e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07968351925259e-05×40589641000000     		ar = 43580.7713514975m²