Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50001 / 58319
↖ ↑ ↗
← N 19.438104°
W 42.668152°		 ← 288.02 m → N 19.438104°
W 42.665405°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
N 19.435515°
W 42.668152°		 ← 288.02 m →
82 941 m²		 N 19.435515°
W 42.665405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58319 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381481170654297 y=0.444942474365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381481170654297 × 217)
    floor (0.381481170654297 × 131072)
    floor (50001.5)     		tx = 50001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444942474365234 × 217)
    floor (0.444942474365234 × 131072)
    floor (58319.5)     		ty = 58319
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50001 / 58319 ti = "17/50001/58319"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50001/58319.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50001 ÷ 217
    50001 ÷ 131072     		x = 0.381477355957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58319 ÷ 217
    58319 ÷ 131072     		y = 0.444938659667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381477355957031 × 2 - 1) × π
    -0.237045288085938 × 3.1415926535     		Λ = -0.74469974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444938659667969 × 2 - 1) × π
    0.110122680664062 × 3.1415926535     		Φ = 0.345960604557945
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74469974} λ = -0.74469974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345960604557945))-π/2
    2×atan(1.41334693529361)-π/2
    2×0.955027624376219-π/2
    1.91005524875244-1.57079632675     		φ = 0.33925892
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74469974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.668152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33925892 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.438104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50001 KachelY 58319 -0.74469974 0.33925892 -42.668152 19.438104
    Oben rechts KachelX + 1 50002 KachelY 58319 -0.74465180 0.33925892 -42.665405 19.438104
    Unten links KachelX 50001 KachelY + 1 58320 -0.74469974 0.33921372 -42.668152 19.435515
    Unten rechts KachelX + 1 50002 KachelY + 1 58320 -0.74465180 0.33921372 -42.665405 19.435515
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33925892-0.33921372) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dl = 287.969200000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33925892-0.33921372) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dr = 287.969200000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74469974--0.74465180) × cos(0.33925892) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.943001547239753 × 6371000     		do = 288.016945387325m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74469974--0.74465180) × cos(0.33921372) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.943016588309602 × 6371000     		du = 288.021539317214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33925892)-sin(0.33921372))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943001547239753-0.943016588309602)×R²
    abs(-0.74465180--0.74469974)×1.50410698488423e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.50410698488423e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.50410698488423e-05×40589641000000     		ar = 82940.6708189765m²