Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50001 / 49757
↖ ↑ ↗
← S 67.803019°
E 94.663696°		 ← 230.77 m → S 67.803019°
E 94.669190°		 →
↑
230.76 m
↓
↑
230.76 m
↓
S 67.805095°
E 94.663696°		 ← 230.75 m →
53 251 m²		 S 67.805095°
E 94.669190°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762962341308594 y=0.759239196777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762962341308594 × 216)
    floor (0.762962341308594 × 65536)
    floor (50001.5)     		tx = 50001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759239196777344 × 216)
    floor (0.759239196777344 × 65536)
    floor (49757.5)     		ty = 49757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50001 / 49757 ti = "16/50001/49757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50001/49757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50001 ÷ 216
    50001 ÷ 65536     		x = 0.762954711914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49757 ÷ 216
    49757 ÷ 65536     		y = 0.759231567382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762954711914062 × 2 - 1) × π
    0.525909423828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65219318
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759231567382812 × 2 - 1) × π
    -0.518463134765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62879997529027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65219318} λ = 1.65219318}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62879997529027))-π/2
    2×atan(0.19616483558878)-π/2
    2×0.193705196743181-π/2
    0.387410393486362-1.57079632675     		φ = -1.18338593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65219318} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.663696°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18338593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.803019°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50001 KachelY 49757 1.65219318 -1.18338593 94.663696 -67.803019
    Oben rechts KachelX + 1 50002 KachelY 49757 1.65228906 -1.18338593 94.669190 -67.803019
    Unten links KachelX 50001 KachelY + 1 49758 1.65219318 -1.18342215 94.663696 -67.805095
    Unten rechts KachelX + 1 50002 KachelY + 1 49758 1.65228906 -1.18342215 94.669190 -67.805095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18338593--1.18342215) × R
    3.62199999999202e-05 × 6371000     		dl = 230.757619999492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18338593--1.18342215) × R
    3.62199999999202e-05 × 6371000     		dr = 230.757619999492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65219318-1.65228906) × cos(-1.18338593) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377791995554767 × 6371000     		do = 230.774799616632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65219318-1.65228906) × cos(-1.18342215) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.377758459553248 × 6371000     		du = 230.75431410047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18338593)-sin(-1.18342215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377791995554767-0.377758459553248)×R²
    abs(1.65228906-1.65219318)×3.35360015195074e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.35360015195074e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.35360015195074e-05×40589641000000     		ar = 53250.6799263895m²