Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50000 / 58448
↖ ↑ ↗
← N 19.103648°
W 42.670898°		 ← 288.55 m → N 19.103648°
W 42.668152°		 →
↑
288.61 m
↓
↑
288.61 m
↓
N 19.101053°
W 42.670898°		 ← 288.55 m →
83 277 m²		 N 19.101053°
W 42.668152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381473541259766 y=0.445926666259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381473541259766 × 217)
    floor (0.381473541259766 × 131072)
    floor (50000.5)     		tx = 50000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445926666259766 × 217)
    floor (0.445926666259766 × 131072)
    floor (58448.5)     		ty = 58448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50000 / 58448 ti = "17/50000/58448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50000/58448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50000 ÷ 217
    50000 ÷ 131072     		x = 0.3814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58448 ÷ 217
    58448 ÷ 131072     		y = 0.4459228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74474767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4459228515625 × 2 - 1) × π
    0.108154296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.339776744506958
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74474767} λ = -0.74474767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339776744506958))-π/2
    2×atan(1.40463396330737)-π/2
    2×0.952108943960054-π/2
    1.90421788792011-1.57079632675     		φ = 0.33342156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74474767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.670898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33342156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.103648°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50000 KachelY 58448 -0.74474767 0.33342156 -42.670898 19.103648
    Oben rechts KachelX + 1 50001 KachelY 58448 -0.74469974 0.33342156 -42.668152 19.103648
    Unten links KachelX 50000 KachelY + 1 58449 -0.74474767 0.33337626 -42.670898 19.101053
    Unten rechts KachelX + 1 50001 KachelY + 1 58449 -0.74469974 0.33337626 -42.668152 19.101053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33342156-0.33337626) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dl = 288.606300000165m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33342156-0.33337626) × R
    4.53000000000259e-05 × 6371000     		dr = 288.606300000165m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74474767--0.74469974) × cos(0.33342156) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.944928075339579 × 6371000     		do = 288.545155289195m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74474767--0.74469974) × cos(0.33337626) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.944942900066422 × 6371000     		du = 288.549682197878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33342156)-sin(0.33337626))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944928075339579-0.944942900066422)×R²
    abs(-0.74469974--0.74474767)×1.4824726842555e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.4824726842555e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.4824726842555e-05×40589641000000     		ar = 83276.602912391m²