Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50000 / 54160
↖ ↑ ↗
← N 29.802518°
W 42.670898°		 ← 264.98 m → N 29.802518°
W 42.668152°		 →
↑
264.97 m
↓
↑
264.97 m
↓
N 29.800135°
W 42.670898°		 ← 264.98 m →
70 211 m²		 N 29.800135°
W 42.668152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381473541259766 y=0.413211822509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381473541259766 × 217)
    floor (0.381473541259766 × 131072)
    floor (50000.5)     		tx = 50000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413211822509766 × 217)
    floor (0.413211822509766 × 131072)
    floor (54160.5)     		ty = 54160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50000 / 54160 ti = "17/50000/54160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50000/54160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50000 ÷ 217
    50000 ÷ 131072     		x = 0.3814697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54160 ÷ 217
    54160 ÷ 131072     		y = 0.4132080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3814697265625 × 2 - 1) × π
    -0.237060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74474767
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4132080078125 × 2 - 1) × π
    0.173583984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.545330170077759
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74474767} λ = -0.74474767}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.545330170077759))-π/2
    2×atan(1.72517789047224)-π/2
    2×1.04547419481076-π/2
    2.09094838962153-1.57079632675     		φ = 0.52015206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74474767} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.670898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52015206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.802518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50000 KachelY 54160 -0.74474767 0.52015206 -42.670898 29.802518
    Oben rechts KachelX + 1 50001 KachelY 54160 -0.74469974 0.52015206 -42.668152 29.802518
    Unten links KachelX 50000 KachelY + 1 54161 -0.74474767 0.52011047 -42.670898 29.800135
    Unten rechts KachelX + 1 50001 KachelY + 1 54161 -0.74469974 0.52011047 -42.668152 29.800135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52015206-0.52011047) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dl = 264.969890000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52015206-0.52011047) × R
    4.15900000000358e-05 × 6371000     		dr = 264.969890000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74474767--0.74469974) × cos(0.52015206) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.867743614051217 × 6371000     		do = 264.975951505765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74474767--0.74469974) × cos(0.52011047) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.867764284033666 × 6371000     		du = 264.982263333565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52015206)-sin(0.52011047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.867743614051217-0.867764284033666)×R²
    abs(-0.74469974--0.74474767)×2.06699824484291e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.06699824484291e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.06699824484291e-05×40589641000000     		ar = 70211.4849554824m²