Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50000 / 48881
↖ ↑ ↗
← S 65.912865°
E 94.658203°		 ← 249.28 m → S 65.912865°
E 94.663696°		 →
↑
249.30 m
↓
↑
249.30 m
↓
S 65.915107°
E 94.658203°		 ← 249.26 m →
62 142 m²		 S 65.915107°
E 94.663696°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762947082519531 y=0.745872497558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762947082519531 × 216)
    floor (0.762947082519531 × 65536)
    floor (50000.5)     		tx = 50000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745872497558594 × 216)
    floor (0.745872497558594 × 65536)
    floor (48881.5)     		ty = 48881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50000 / 48881 ti = "16/50000/48881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50000/48881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50000 ÷ 216
    50000 ÷ 65536     		x = 0.762939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48881 ÷ 216
    48881 ÷ 65536     		y = 0.745864868164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762939453125 × 2 - 1) × π
    0.52587890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65209731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745864868164062 × 2 - 1) × π
    -0.491729736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54481452715593
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65209731} λ = 1.65209731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54481452715593))-π/2
    2×atan(0.213351438451555)-π/2
    2×0.210199903600404-π/2
    0.420399807200807-1.57079632675     		φ = -1.15039652
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65209731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.658203°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15039652 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.912865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50000 KachelY 48881 1.65209731 -1.15039652 94.658203 -65.912865
    Oben rechts KachelX + 1 50001 KachelY 48881 1.65219318 -1.15039652 94.663696 -65.912865
    Unten links KachelX 50000 KachelY + 1 48882 1.65209731 -1.15043565 94.658203 -65.915107
    Unten rechts KachelX + 1 50001 KachelY + 1 48882 1.65219318 -1.15043565 94.663696 -65.915107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15039652--1.15043565) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dl = 249.297229999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15039652--1.15043565) × R
    3.91299999999983e-05 × 6371000     		dr = 249.297229999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65209731-1.65219318) × cos(-1.15039652) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408125479623196 × 6371000     		do = 249.278051579227m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65209731-1.65219318) × cos(-1.15043565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.408089756522558 × 6371000     		du = 249.25623234625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15039652)-sin(-1.15043565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408125479623196-0.408089756522558)×R²
    abs(1.65219318-1.65209731)×3.5723100638041e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.5723100638041e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.5723100638041e-05×40589641000000     		ar = 62141.6080289388m²