Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 500 / 600
↖ ↑ ↗
← S 29.535229°
W  4.218750°		 ← 34.012 km → S 29.535229°
W  3.867187°		 →
↑
33.961 km
↓
↑
33.961 km
↓
S 29.840644°
W  4.218750°		 ← 33.909 km →
1 153.32 km²		 S 29.840644°
W  3.867187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 600 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.48876953125 y=0.58642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.48876953125 × 210)
    floor (0.48876953125 × 1024)
    floor (500.5)     		tx = 500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58642578125 × 210)
    floor (0.58642578125 × 1024)
    floor (600.5)     		ty = 600
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 500 / 600 ti = "10/500/600"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/500/600.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 500 ÷ 210
    500 ÷ 1024     		x = 0.48828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 600 ÷ 210
    600 ÷ 1024     		y = 0.5859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.48828125 × 2 - 1) × π
    -0.0234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.07363108
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5859375 × 2 - 1) × π
    -0.171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.07363108} λ = -0.07363108}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.539961237320313))-π/2
    2×atan(0.582770841695643)-π/2
    2×0.527654662801254-π/2
    1.05530932560251-1.57079632675     		φ = -0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.07363108} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -4.218750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 500 KachelY 600 -0.07363108 -0.51548700 -4.218750 -29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 501 KachelY 600 -0.06749515 -0.51548700 -3.867187 -29.535229
    Unten links KachelX 500 KachelY + 1 601 -0.07363108 -0.52081749 -4.218750 -29.840644
    Unten rechts KachelX + 1 501 KachelY + 1 601 -0.06749515 -0.52081749 -3.867187 -29.840644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51548700--0.52081749) × R
    0.00533048999999997 × 6371000     		dl = 33960.5517899998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51548700--0.52081749) × R
    0.00533048999999997 × 6371000     		dr = 33960.5517899998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.07363108--0.06749515) × cos(-0.51548700) × R
    0.00613593 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 34012.1110107361m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.07363108--0.06749515) × cos(-0.52081749) × R
    0.00613593 × 0.867412695201626 × 6371000     		du = 33908.9057809713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51548700)-sin(-0.52081749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.867412695201626)×R²
    abs(-0.06749515--0.07363108)×0.00264005943121459×R²
    0.00613593×0.00264005943121459×6371000²
    0.00613593×0.00264005943121459×40589641000000     		ar = 1153320335.07562m²