Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49999 / 58449
↖ ↑ ↗
← N 19.101053°
W 42.673645°		 ← 288.61 m → N 19.101053°
W 42.670898°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.098458°
W 42.673645°		 ← 288.61 m →
83 277 m²		 N 19.098458°
W 42.670898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381465911865234 y=0.445934295654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381465911865234 × 217)
    floor (0.381465911865234 × 131072)
    floor (49999.5)     		tx = 49999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445934295654297 × 217)
    floor (0.445934295654297 × 131072)
    floor (58449.5)     		ty = 58449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49999 / 58449 ti = "17/49999/58449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49999/58449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49999 ÷ 217
    49999 ÷ 131072     		x = 0.381462097167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58449 ÷ 217
    58449 ÷ 131072     		y = 0.445930480957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381462097167969 × 2 - 1) × π
    -0.237075805664062 × 3.1415926535     		Λ = -0.74479561
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445930480957031 × 2 - 1) × π
    0.108139038085938 × 3.1415926535     		Φ = 0.339728807607338
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74479561} λ = -0.74479561}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.339728807607338))-π/2
    2×atan(1.40456663112393)-π/2
    2×0.95208629532126-π/2
    1.90417259064252-1.57079632675     		φ = 0.33337626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74479561} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.673645°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33337626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.101053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49999 KachelY 58449 -0.74479561 0.33337626 -42.673645 19.101053
    Oben rechts KachelX + 1 50000 KachelY 58449 -0.74474767 0.33337626 -42.670898 19.101053
    Unten links KachelX 49999 KachelY + 1 58450 -0.74479561 0.33333097 -42.673645 19.098458
    Unten rechts KachelX + 1 50000 KachelY + 1 58450 -0.74474767 0.33333097 -42.670898 19.098458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33337626-0.33333097) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dl = 288.542589999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33337626-0.33333097) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dr = 288.542589999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74479561--0.74474767) × cos(0.33337626) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944942900066422 × 6371000     		do = 288.609884511012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74479561--0.74474767) × cos(0.33333097) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.944957719582232 × 6371000     		du = 288.614410772595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33337626)-sin(0.33333097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944942900066422-0.944957719582232)×R²
    abs(-0.74474767--0.74479561)×1.48195158101716e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.48195158101716e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.48195158101716e-05×40589641000000     		ar = 83276.8966001951m²