Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49999 / 50832
↖ ↑ ↗
← S 69.930300°
E 94.652710°		 ← 209.62 m → S 69.930300°
E 94.658203°		 →
↑
209.61 m
↓
↑
209.61 m
↓
S 69.932185°
E 94.652710°		 ← 209.60 m →
43 936 m²		 S 69.932185°
E 94.658203°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49999 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762931823730469 y=0.775642395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762931823730469 × 216)
    floor (0.762931823730469 × 65536)
    floor (49999.5)     		tx = 49999
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775642395019531 × 216)
    floor (0.775642395019531 × 65536)
    floor (50832.5)     		ty = 50832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49999 / 50832 ti = "16/49999/50832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49999/50832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49999 ÷ 216
    49999 ÷ 65536     		x = 0.762924194335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50832 ÷ 216
    50832 ÷ 65536     		y = 0.775634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762924194335938 × 2 - 1) × π
    0.525848388671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65200143
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775634765625 × 2 - 1) × π
    -0.55126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.73186430947339
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65200143} λ = 1.65200143}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73186430947339))-π/2
    2×atan(0.176954204862781)-π/2
    2×0.175141170914831-π/2
    0.350282341829662-1.57079632675     		φ = -1.22051398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65200143} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.652710°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22051398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.930300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49999 KachelY 50832 1.65200143 -1.22051398 94.652710 -69.930300
    Oben rechts KachelX + 1 50000 KachelY 50832 1.65209731 -1.22051398 94.658203 -69.930300
    Unten links KachelX 49999 KachelY + 1 50833 1.65200143 -1.22054688 94.652710 -69.932185
    Unten rechts KachelX + 1 50000 KachelY + 1 50833 1.65209731 -1.22054688 94.658203 -69.932185
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22051398--1.22054688) × R
    3.28999999998913e-05 × 6371000     		dl = 209.605899999308m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22051398--1.22054688) × R
    3.28999999998913e-05 × 6371000     		dr = 209.605899999308m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65200143-1.65209731) × cos(-1.22051398) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343163022658756 × 6371000     		do = 209.621640272237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65200143-1.65209731) × cos(-1.22054688) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.343132120297269 × 6371000     		du = 209.602763518987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22051398)-sin(-1.22054688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343163022658756-0.343132120297269)×R²
    abs(1.65209731-1.65200143)×3.09023614871173e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.09023614871173e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.09023614871173e-05×40589641000000     		ar = 43935.9542328853m²