Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49998 / 49854
↖ ↑ ↗
← S 68.003457°
E 94.647217°		 ← 228.77 m → S 68.003457°
E 94.652710°		 →
↑
228.78 m
↓
↑
228.78 m
↓
S 68.005514°
E 94.647217°		 ← 228.75 m →
52 336 m²		 S 68.005514°
E 94.652710°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49998 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762916564941406 y=0.760719299316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762916564941406 × 216)
    floor (0.762916564941406 × 65536)
    floor (49998.5)     		tx = 49998
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760719299316406 × 216)
    floor (0.760719299316406 × 65536)
    floor (49854.5)     		ty = 49854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49998 / 49854 ti = "16/49998/49854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49998/49854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49998 ÷ 216
    49998 ÷ 65536     		x = 0.762908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49854 ÷ 216
    49854 ÷ 65536     		y = 0.760711669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762908935546875 × 2 - 1) × π
    0.52581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65190556
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760711669921875 × 2 - 1) × π
    -0.52142333984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63809973381656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65190556} λ = 1.65190556}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63809973381656))-π/2
    2×atan(0.194349006459558)-π/2
    2×0.191956054534558-π/2
    0.383912109069116-1.57079632675     		φ = -1.18688422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65190556} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.647217°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18688422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.003457°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49998 KachelY 49854 1.65190556 -1.18688422 94.647217 -68.003457
    Oben rechts KachelX + 1 49999 KachelY 49854 1.65200143 -1.18688422 94.652710 -68.003457
    Unten links KachelX 49998 KachelY + 1 49855 1.65190556 -1.18692013 94.647217 -68.005514
    Unten rechts KachelX + 1 49999 KachelY + 1 49855 1.65200143 -1.18692013 94.652710 -68.005514
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18688422--1.18692013) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dl = 228.782610000178m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18688422--1.18692013) × R
    3.59100000000279e-05 × 6371000     		dr = 228.782610000178m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65190556-1.65200143) × cos(-1.18688422) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374550656989696 × 6371000     		do = 228.770960534766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65190556-1.65200143) × cos(-1.18692013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374517360764501 × 6371000     		du = 228.75062360763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18688422)-sin(-1.18692013))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374550656989696-0.374517360764501)×R²
    abs(1.65200143-1.65190556)×3.32962251949342e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32962251949342e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32962251949342e-05×40589641000000     		ar = 52336.4910814708m²