Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49993 / 58440
↖ ↑ ↗
← N 19.124409°
W 42.690124°		 ← 288.57 m → N 19.124409°
W 42.687378°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.121814°
W 42.690124°		 ← 288.57 m →
83 265 m²		 N 19.121814°
W 42.687378°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381420135498047 y=0.445865631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381420135498047 × 217)
    floor (0.381420135498047 × 131072)
    floor (49993.5)     		tx = 49993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445865631103516 × 217)
    floor (0.445865631103516 × 131072)
    floor (58440.5)     		ty = 58440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49993 / 58440 ti = "17/49993/58440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49993/58440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49993 ÷ 217
    49993 ÷ 131072     		x = 0.381416320800781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58440 ÷ 217
    58440 ÷ 131072     		y = 0.44586181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381416320800781 × 2 - 1) × π
    -0.237167358398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.74508323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44586181640625 × 2 - 1) × π
    0.1082763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.340160239703918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74508323} λ = -0.74508323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340160239703918))-π/2
    2×atan(1.40517273698774)-π/2
    2×0.952290120275283-π/2
    1.90458024055057-1.57079632675     		φ = 0.33378391
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74508323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.690124°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33378391 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.124409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49993 KachelY 58440 -0.74508323 0.33378391 -42.690124 19.124409
    Oben rechts KachelX + 1 49994 KachelY 58440 -0.74503529 0.33378391 -42.687378 19.124409
    Unten links KachelX 49993 KachelY + 1 58441 -0.74508323 0.33373862 -42.690124 19.121814
    Unten rechts KachelX + 1 49994 KachelY + 1 58441 -0.74503529 0.33373862 -42.687378 19.121814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33378391-0.33373862) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dl = 288.542590000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33378391-0.33373862) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dr = 288.542590000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74508323--0.74503529) × cos(0.33378391) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94480942410163 × 6371000     		do = 288.569117515025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74508323--0.74503529) × cos(0.33373862) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944824261062324 × 6371000     		du = 288.573649104724m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33378391)-sin(0.33373862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94480942410163-0.944824261062324)×R²
    abs(-0.74503529--0.74508323)×1.48369606935983e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48369606935983e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48369606935983e-05×40589641000000     		ar = 83265.1343544353m²