Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49993 / 49743
↖ ↑ ↗
← S 67.773947°
E 94.619751°		 ← 231.06 m → S 67.773947°
E 94.625244°		 →
↑
231.08 m
↓
↑
231.08 m
↓
S 67.776026°
E 94.619751°		 ← 231.04 m →
53 390 m²		 S 67.776026°
E 94.625244°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49993 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762840270996094 y=0.759025573730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762840270996094 × 216)
    floor (0.762840270996094 × 65536)
    floor (49993.5)     		tx = 49993
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759025573730469 × 216)
    floor (0.759025573730469 × 65536)
    floor (49743.5)     		ty = 49743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49993 / 49743 ti = "16/49993/49743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49993/49743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49993 ÷ 216
    49993 ÷ 65536     		x = 0.762832641601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49743 ÷ 216
    49743 ÷ 65536     		y = 0.759017944335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762832641601562 × 2 - 1) × π
    0.525665283203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65142619
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759017944335938 × 2 - 1) × π
    -0.518035888671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.62745774210091
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65142619} λ = 1.65142619}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62745774210091))-π/2
    2×atan(0.196428311325076)-π/2
    2×0.193958896819426-π/2
    0.387917793638851-1.57079632675     		φ = -1.18287853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65142619} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.619751°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18287853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.773947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49993 KachelY 49743 1.65142619 -1.18287853 94.619751 -67.773947
    Oben rechts KachelX + 1 49994 KachelY 49743 1.65152207 -1.18287853 94.625244 -67.773947
    Unten links KachelX 49993 KachelY + 1 49744 1.65142619 -1.18291480 94.619751 -67.776026
    Unten rechts KachelX + 1 49994 KachelY + 1 49744 1.65152207 -1.18291480 94.625244 -67.776026
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18287853--1.18291480) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dl = 231.076170000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18287853--1.18291480) × R
    3.62700000000604e-05 × 6371000     		dr = 231.076170000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65142619-1.65152207) × cos(-1.18287853) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378261743739424 × 6371000     		do = 231.061745990457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65142619-1.65152207) × cos(-1.18291480) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.378228168399366 × 6371000     		du = 231.04123644429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18287853)-sin(-1.18291480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378261743739424-0.378228168399366)×R²
    abs(1.65152207-1.65142619)×3.35753400588779e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.35753400588779e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.35753400588779e-05×40589641000000     		ar = 53390.4936691869m²