Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49992 / 58039
↖ ↑ ↗
← N 20.161677°
W 42.692871°		 ← 286.71 m → N 20.161677°
W 42.690124°		 →
↑
286.70 m
↓
↑
286.70 m
↓
N 20.159098°
W 42.692871°		 ← 286.72 m →
82 199 m²		 N 20.159098°
W 42.690124°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49992 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381412506103516 y=0.442806243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381412506103516 × 217)
    floor (0.381412506103516 × 131072)
    floor (49992.5)     		tx = 49992
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442806243896484 × 217)
    floor (0.442806243896484 × 131072)
    floor (58039.5)     		ty = 58039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49992 / 58039 ti = "17/49992/58039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49992/58039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49992 ÷ 217
    49992 ÷ 131072     		x = 0.38140869140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58039 ÷ 217
    58039 ÷ 131072     		y = 0.442802429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38140869140625 × 2 - 1) × π
    -0.2371826171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74513117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442802429199219 × 2 - 1) × π
    0.114395141601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.359382936451561
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74513117} λ = -0.74513117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.359382936451561))-π/2
    2×atan(1.43244523205216)-π/2
    2×0.961341982860063-π/2
    1.92268396572013-1.57079632675     		φ = 0.35188764
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74513117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.692871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35188764 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.161677°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49992 KachelY 58039 -0.74513117 0.35188764 -42.692871 20.161677
    Oben rechts KachelX + 1 49993 KachelY 58039 -0.74508323 0.35188764 -42.690124 20.161677
    Unten links KachelX 49992 KachelY + 1 58040 -0.74513117 0.35184264 -42.692871 20.159098
    Unten rechts KachelX + 1 49993 KachelY + 1 58040 -0.74508323 0.35184264 -42.690124 20.159098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35188764-0.35184264) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dl = 286.69500000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35188764-0.35184264) × R
    4.50000000000172e-05 × 6371000     		dr = 286.69500000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74513117--0.74508323) × cos(0.35188764) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.938723772035728 × 6371000     		do = 286.710402729415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74513117--0.74508323) × cos(0.35184264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.93873928125295 × 6371000     		du = 286.715139643562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35188764)-sin(0.35184264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938723772035728-0.93873928125295)×R²
    abs(-0.74508323--0.74513117)×1.55092172222648e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55092172222648e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55092172222648e-05×40589641000000     		ar = 82199.117949207m²