Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49990 / 58329
↖ ↑ ↗
← N 19.412202°
W 42.698364°		 ← 288.06 m → N 19.412202°
W 42.695617°		 →
↑
288.03 m
↓
↑
288.03 m
↓
N 19.409612°
W 42.698364°		 ← 288.07 m →
82 972 m²		 N 19.409612°
W 42.695617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49990 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381397247314453 y=0.445018768310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381397247314453 × 217)
    floor (0.381397247314453 × 131072)
    floor (49990.5)     		tx = 49990
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445018768310547 × 217)
    floor (0.445018768310547 × 131072)
    floor (58329.5)     		ty = 58329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49990 / 58329 ti = "17/49990/58329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49990/58329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49990 ÷ 217
    49990 ÷ 131072     		x = 0.381393432617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58329 ÷ 217
    58329 ÷ 131072     		y = 0.445014953613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381393432617188 × 2 - 1) × π
    -0.237213134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.74522704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445014953613281 × 2 - 1) × π
    0.109970092773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.345481235561745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74522704} λ = -0.74522704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345481235561745))-π/2
    2×atan(1.41266958295578)-π/2
    2×0.954801583502024-π/2
    1.90960316700405-1.57079632675     		φ = 0.33880684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74522704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.698364°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33880684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.412202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49990 KachelY 58329 -0.74522704 0.33880684 -42.698364 19.412202
    Oben rechts KachelX + 1 49991 KachelY 58329 -0.74517910 0.33880684 -42.695617 19.412202
    Unten links KachelX 49990 KachelY + 1 58330 -0.74522704 0.33876163 -42.698364 19.409612
    Unten rechts KachelX + 1 49991 KachelY + 1 58330 -0.74517910 0.33876163 -42.695617 19.409612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33880684-0.33876163) × R
    4.52100000000177e-05 × 6371000     		dl = 288.032910000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33880684-0.33876163) × R
    4.52100000000177e-05 × 6371000     		dr = 288.032910000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74522704--0.74517910) × cos(0.33880684) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943151897825591 × 6371000     		do = 288.062866325597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74522704--0.74517910) × cos(0.33876163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.943166922947634 × 6371000     		du = 288.067455384615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33880684)-sin(0.33876163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943151897825591-0.943166922947634)×R²
    abs(-0.74517910--0.74522704)×1.50251220437658e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50251220437658e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50251220437658e-05×40589641000000     		ar = 82972.2465648252m²