Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49989 / 58059
↖ ↑ ↗
← N 20.110102°
W 42.701111°		 ← 286.81 m → N 20.110102°
W 42.698364°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.107524°
W 42.701111°		 ← 286.81 m →
82 245 m²		 N 20.107524°
W 42.698364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49989 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381389617919922 y=0.442958831787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381389617919922 × 217)
    floor (0.381389617919922 × 131072)
    floor (49989.5)     		tx = 49989
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442958831787109 × 217)
    floor (0.442958831787109 × 131072)
    floor (58059.5)     		ty = 58059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49989 / 58059 ti = "17/49989/58059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49989/58059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49989 ÷ 217
    49989 ÷ 131072     		x = 0.381385803222656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58059 ÷ 217
    58059 ÷ 131072     		y = 0.442955017089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381385803222656 × 2 - 1) × π
    -0.237228393554688 × 3.1415926535     		Λ = -0.74527498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442955017089844 × 2 - 1) × π
    0.114089965820312 × 3.1415926535     		Φ = 0.35842419845916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74527498} λ = -0.74527498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35842419845916))-π/2
    2×atan(1.43107255051228)-π/2
    2×0.960891913490037-π/2
    1.92178382698007-1.57079632675     		φ = 0.35098750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74527498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.701111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35098750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.110102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49989 KachelY 58059 -0.74527498 0.35098750 -42.701111 20.110102
    Oben rechts KachelX + 1 49990 KachelY 58059 -0.74522704 0.35098750 -42.698364 20.110102
    Unten links KachelX 49989 KachelY + 1 58060 -0.74527498 0.35094249 -42.701111 20.107524
    Unten rechts KachelX + 1 49990 KachelY + 1 58060 -0.74522704 0.35094249 -42.698364 20.107524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35098750-0.35094249) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35098750-0.35094249) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74527498--0.74522704) × cos(0.35098750) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939033643300001 × 6371000     		do = 286.805045390275m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74527498--0.74522704) × cos(0.35094249) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.939049117924235 × 6371000     		du = 286.809771738833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35098750)-sin(0.35094249))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939033643300001-0.939049117924235)×R²
    abs(-0.74522704--0.74527498)×1.5474624233458e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.5474624233458e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.5474624233458e-05×40589641000000     		ar = 82244.5225123151m²