Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49988 / 58436
↖ ↑ ↗
← N 19.134789°
W 42.703858°		 ← 288.55 m → N 19.134789°
W 42.701111°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.132194°
W 42.703858°		 ← 288.56 m →
83 260 m²		 N 19.132194°
W 42.701111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381381988525391 y=0.445835113525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381381988525391 × 217)
    floor (0.381381988525391 × 131072)
    floor (49988.5)     		tx = 49988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445835113525391 × 217)
    floor (0.445835113525391 × 131072)
    floor (58436.5)     		ty = 58436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49988 / 58436 ti = "17/49988/58436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49988/58436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49988 ÷ 217
    49988 ÷ 131072     		x = 0.381378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58436 ÷ 217
    58436 ÷ 131072     		y = 0.445831298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.23724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74532292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445831298828125 × 2 - 1) × π
    0.10833740234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.340351987302399
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74532292} λ = -0.74532292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340351987302399))-π/2
    2×atan(1.40544220131925)-π/2
    2×0.952380699898561-π/2
    1.90476139979712-1.57079632675     		φ = 0.33396507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74532292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.703858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33396507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.134789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49988 KachelY 58436 -0.74532292 0.33396507 -42.703858 19.134789
    Oben rechts KachelX + 1 49989 KachelY 58436 -0.74527498 0.33396507 -42.701111 19.134789
    Unten links KachelX 49988 KachelY + 1 58437 -0.74532292 0.33391978 -42.703858 19.132194
    Unten rechts KachelX + 1 49989 KachelY + 1 58437 -0.74527498 0.33391978 -42.701111 19.132194
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33396507-0.33391978) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dl = 288.542589999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33396507-0.33391978) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dr = 288.542589999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74532292--0.74527498) × cos(0.33396507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944750056879379 × 6371000     		do = 288.550985237237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74532292--0.74527498) × cos(0.33391978) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944764901591802 × 6371000     		du = 288.555519194514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33396507)-sin(0.33391978))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944750056879379-0.944764901591802)×R²
    abs(-0.74527498--0.74532292)×1.48447124231899e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48447124231899e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48447124231899e-05×40589641000000     		ar = 83259.9027614604m²