Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49988 / 57924
↖ ↑ ↗
← N 20.457896°
W 42.703858°		 ← 286.16 m → N 20.457896°
W 42.701111°		 →
↑
286.19 m
↓
↑
286.19 m
↓
N 20.455323°
W 42.703858°		 ← 286.17 m →
81 896 m²		 N 20.455323°
W 42.701111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57924 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381381988525391 y=0.441928863525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381381988525391 × 217)
    floor (0.381381988525391 × 131072)
    floor (49988.5)     		tx = 49988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.441928863525391 × 217)
    floor (0.441928863525391 × 131072)
    floor (57924.5)     		ty = 57924
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49988 / 57924 ti = "17/49988/57924"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49988/57924.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49988 ÷ 217
    49988 ÷ 131072     		x = 0.381378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57924 ÷ 217
    57924 ÷ 131072     		y = 0.441925048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.23724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74532292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.441925048828125 × 2 - 1) × π
    0.11614990234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.364895679907867
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74532292} λ = -0.74532292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.364895679907867))-π/2
    2×atan(1.44036374143322)-π/2
    2×0.96392698636089-π/2
    1.92785397272178-1.57079632675     		φ = 0.35705765
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74532292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.703858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35705765 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.457896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49988 KachelY 57924 -0.74532292 0.35705765 -42.703858 20.457896
    Oben rechts KachelX + 1 49989 KachelY 57924 -0.74527498 0.35705765 -42.701111 20.457896
    Unten links KachelX 49988 KachelY + 1 57925 -0.74532292 0.35701273 -42.703858 20.455323
    Unten rechts KachelX + 1 49989 KachelY + 1 57925 -0.74527498 0.35701273 -42.701111 20.455323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35705765-0.35701273) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dl = 286.185320000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35705765-0.35701273) × R
    4.49200000000038e-05 × 6371000     		dr = 286.185320000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74532292--0.74527498) × cos(0.35705765) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936929285047957 × 6371000     		do = 286.162320213256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74532292--0.74527498) × cos(0.35701273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.936944984495098 × 6371000     		du = 286.167115228516m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35705765)-sin(0.35701273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.936929285047957-0.936944984495098)×R²
    abs(-0.74527498--0.74532292)×1.5699447140749e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5699447140749e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5699447140749e-05×40589641000000     		ar = 81896.1413273942m²