Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 49988 / 49964
↖ ↑ ↗
← S 68.228674°
E 94.592285°		 ← 226.57 m → S 68.228674°
E 94.597779°		 →
↑
226.55 m
↓
↑
226.55 m
↓
S 68.230712°
E 94.592285°		 ← 226.55 m →
51 327 m²		 S 68.230712°
E 94.597779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49988 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762763977050781 y=0.762397766113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762763977050781 × 216)
    floor (0.762763977050781 × 65536)
    floor (49988.5)     		tx = 49988
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762397766113281 × 216)
    floor (0.762397766113281 × 65536)
    floor (49964.5)     		ty = 49964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49988 / 49964 ti = "16/49988/49964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49988/49964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49988 ÷ 216
    49988 ÷ 65536     		x = 0.76275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49964 ÷ 216
    49964 ÷ 65536     		y = 0.76239013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76275634765625 × 2 - 1) × π
    0.5255126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.65094682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76239013671875 × 2 - 1) × π
    -0.5247802734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.64864585173297
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65094682} λ = 1.65094682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64864585173297))-π/2
    2×atan(0.192310148833845)-π/2
    2×0.189990656835867-π/2
    0.379981313671734-1.57079632675     		φ = -1.19081501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65094682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.592285°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19081501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.228674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49988 KachelY 49964 1.65094682 -1.19081501 94.592285 -68.228674
    Oben rechts KachelX + 1 49989 KachelY 49964 1.65104270 -1.19081501 94.597779 -68.228674
    Unten links KachelX 49988 KachelY + 1 49965 1.65094682 -1.19085057 94.592285 -68.230712
    Unten rechts KachelX + 1 49989 KachelY + 1 49965 1.65104270 -1.19085057 94.597779 -68.230712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19081501--1.19085057) × R
    3.55600000001566e-05 × 6371000     		dl = 226.552760000998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19081501--1.19085057) × R
    3.55600000001566e-05 × 6371000     		dr = 226.552760000998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65094682-1.65104270) × cos(-1.19081501) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.370903118916388 × 6371000     		do = 226.566719127068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65094682-1.65104270) × cos(-1.19085057) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.370870095121023 × 6371000     		du = 226.546546492794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19081501)-sin(-1.19085057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.370903118916388-0.370870095121023)×R²
    abs(1.65104270-1.65094682)×3.30237953647394e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.30237953647394e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.30237953647394e-05×40589641000000     		ar = 51327.0304650061m²