Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49987 / 58309
↖ ↑ ↗
← N 19.464003°
W 42.706604°		 ← 287.91 m → N 19.464003°
W 42.703858°		 →
↑
287.97 m
↓
↑
287.97 m
↓
N 19.461413°
W 42.706604°		 ← 287.92 m →
82 910 m²		 N 19.461413°
W 42.703858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58309 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381374359130859 y=0.444866180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381374359130859 × 217)
    floor (0.381374359130859 × 131072)
    floor (49987.5)     		tx = 49987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444866180419922 × 217)
    floor (0.444866180419922 × 131072)
    floor (58309.5)     		ty = 58309
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49987 / 58309 ti = "17/49987/58309"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49987/58309.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49987 ÷ 217
    49987 ÷ 131072     		x = 0.381370544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58309 ÷ 217
    58309 ÷ 131072     		y = 0.444862365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381370544433594 × 2 - 1) × π
    -0.237258911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.74537085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444862365722656 × 2 - 1) × π
    0.110275268554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.346439973554146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74537085} λ = -0.74537085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346439973554146))-π/2
    2×atan(1.41402461241099)-π/2
    2×0.955253629193349-π/2
    1.9105072583867-1.57079632675     		φ = 0.33971093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74537085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.706604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33971093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.464003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49987 KachelY 58309 -0.74537085 0.33971093 -42.706604 19.464003
    Oben rechts KachelX + 1 49988 KachelY 58309 -0.74532292 0.33971093 -42.703858 19.464003
    Unten links KachelX 49987 KachelY + 1 58310 -0.74537085 0.33966573 -42.706604 19.461413
    Unten rechts KachelX + 1 49988 KachelY + 1 58310 -0.74532292 0.33966573 -42.703858 19.461413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33971093-0.33966573) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dl = 287.969200000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33971093-0.33966573) × R
    4.5200000000023e-05 × 6371000     		dr = 287.969200000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74537085--0.74532292) × cos(0.33971093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942851027251749 × 6371000     		do = 287.910903669355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74537085--0.74532292) × cos(0.33966573) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942866087586539 × 6371000     		du = 287.91550252376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33971093)-sin(0.33966573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942851027251749-0.942866087586539)×R²
    abs(-0.74532292--0.74537085)×1.50603347903733e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50603347903733e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50603347903733e-05×40589641000000     		ar = 82910.1347792623m²