Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49987 / 54207
↖ ↑ ↗
← N 29.690439°
W 42.706604°		 ← 265.27 m → N 29.690439°
W 42.703858°		 →
↑
265.29 m
↓
↑
265.29 m
↓
N 29.688053°
W 42.706604°		 ← 265.28 m →
70 375 m²		 N 29.688053°
W 42.703858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381374359130859 y=0.413570404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381374359130859 × 217)
    floor (0.381374359130859 × 131072)
    floor (49987.5)     		tx = 49987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413570404052734 × 217)
    floor (0.413570404052734 × 131072)
    floor (54207.5)     		ty = 54207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49987 / 54207 ti = "17/49987/54207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49987/54207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49987 ÷ 217
    49987 ÷ 131072     		x = 0.381370544433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54207 ÷ 217
    54207 ÷ 131072     		y = 0.413566589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381370544433594 × 2 - 1) × π
    -0.237258911132812 × 3.1415926535     		Λ = -0.74537085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413566589355469 × 2 - 1) × π
    0.172866821289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.543077135795616
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74537085} λ = -0.74537085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.543077135795616))-π/2
    2×atan(1.72129538089815)-π/2
    2×1.04449611986554-π/2
    2.08899223973109-1.57079632675     		φ = 0.51819591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74537085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.706604°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51819591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.690439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49987 KachelY 54207 -0.74537085 0.51819591 -42.706604 29.690439
    Oben rechts KachelX + 1 49988 KachelY 54207 -0.74532292 0.51819591 -42.703858 29.690439
    Unten links KachelX 49987 KachelY + 1 54208 -0.74537085 0.51815427 -42.706604 29.688053
    Unten rechts KachelX + 1 49988 KachelY + 1 54208 -0.74532292 0.51815427 -42.703858 29.688053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51819591-0.51815427) × R
    4.16399999999539e-05 × 6371000     		dl = 265.288439999707m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51819591-0.51815427) × R
    4.16399999999539e-05 × 6371000     		dr = 265.288439999707m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74537085--0.74532292) × cos(0.51819591) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.868714183416434 × 6371000     		do = 265.272326537997m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74537085--0.74532292) × cos(0.51815427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.868734807526026 × 6371000     		du = 265.278624357969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51819591)-sin(0.51815427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.868714183416434-0.868734807526026)×R²
    abs(-0.74532292--0.74537085)×2.06241095922488e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.06241095922488e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.06241095922488e-05×40589641000000     		ar = 70374.5170618822m²