Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49987 / 49831
↖ ↑ ↗
← S 67.956086°
E 94.586792°		 ← 229.24 m → S 67.956086°
E 94.592285°		 →
↑
229.23 m
↓
↑
229.23 m
↓
S 67.958148°
E 94.586792°		 ← 229.22 m →
52 546 m²		 S 67.958148°
E 94.592285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49987 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762748718261719 y=0.760368347167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762748718261719 × 216)
    floor (0.762748718261719 × 65536)
    floor (49987.5)     		tx = 49987
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760368347167969 × 216)
    floor (0.760368347167969 × 65536)
    floor (49831.5)     		ty = 49831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49987 / 49831 ti = "16/49987/49831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49987/49831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49987 ÷ 216
    49987 ÷ 65536     		x = 0.762741088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49831 ÷ 216
    49831 ÷ 65536     		y = 0.760360717773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762741088867188 × 2 - 1) × π
    0.525482177734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65085095
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760360717773438 × 2 - 1) × π
    -0.520721435546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63589463643404
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65085095} λ = 1.65085095}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63589463643404))-π/2
    2×atan(0.194778037799095)-π/2
    2×0.192369437279685-π/2
    0.384738874559369-1.57079632675     		φ = -1.18605745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65085095} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.586792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18605745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.956086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49987 KachelY 49831 1.65085095 -1.18605745 94.586792 -67.956086
    Oben rechts KachelX + 1 49988 KachelY 49831 1.65094682 -1.18605745 94.592285 -67.956086
    Unten links KachelX 49987 KachelY + 1 49832 1.65085095 -1.18609343 94.586792 -67.958148
    Unten rechts KachelX + 1 49988 KachelY + 1 49832 1.65094682 -1.18609343 94.592285 -67.958148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18605745--1.18609343) × R
    3.59799999998245e-05 × 6371000     		dl = 229.228579998882m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18605745--1.18609343) × R
    3.59799999998245e-05 × 6371000     		dr = 229.228579998882m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65085095-1.65094682) × cos(-1.18605745) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375317115369216 × 6371000     		do = 229.239103939191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65085095-1.65094682) × cos(-1.18609343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.375283765391359 × 6371000     		du = 229.218734180586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18605745)-sin(-1.18609343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375317115369216-0.375283765391359)×R²
    abs(1.65094682-1.65085095)×3.33499778567004e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.33499778567004e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.33499778567004e-05×40589641000000     		ar = 52545.819616492m²