Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49986 / 49786
↖ ↑ ↗
← S 67.863125°
E 94.581299°		 ← 230.16 m → S 67.863125°
E 94.586792°		 →
↑
230.18 m
↓
↑
230.18 m
↓
S 67.865195°
E 94.581299°		 ← 230.14 m →
52 976 m²		 S 67.865195°
E 94.586792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49986 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762733459472656 y=0.759681701660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762733459472656 × 216)
    floor (0.762733459472656 × 65536)
    floor (49986.5)     		tx = 49986
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759681701660156 × 216)
    floor (0.759681701660156 × 65536)
    floor (49786.5)     		ty = 49786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49986 / 49786 ti = "16/49986/49786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49986/49786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49986 ÷ 216
    49986 ÷ 65536     		x = 0.762725830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49786 ÷ 216
    49786 ÷ 65536     		y = 0.759674072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762725830078125 × 2 - 1) × π
    0.52545166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65075508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759674072265625 × 2 - 1) × π
    -0.51934814453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63158031546823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65075508} λ = 1.65075508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63158031546823))-π/2
    2×atan(0.195620188118368)-π/2
    2×0.193180677134353-π/2
    0.386361354268705-1.57079632675     		φ = -1.18443497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65075508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.581299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18443497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.863125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49986 KachelY 49786 1.65075508 -1.18443497 94.581299 -67.863125
    Oben rechts KachelX + 1 49987 KachelY 49786 1.65085095 -1.18443497 94.586792 -67.863125
    Unten links KachelX 49986 KachelY + 1 49787 1.65075508 -1.18447110 94.581299 -67.865195
    Unten rechts KachelX + 1 49987 KachelY + 1 49787 1.65085095 -1.18447110 94.586792 -67.865195
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18443497--1.18447110) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dl = 230.184230000147m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18443497--1.18447110) × R
    3.61300000000231e-05 × 6371000     		dr = 230.184230000147m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65075508-1.65085095) × cos(-1.18443497) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.376820491691224 × 6371000     		do = 230.157347810381m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65075508-1.65085095) × cos(-1.18447110) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37678702472112 × 6371000     		du = 230.136906594343m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18443497)-sin(-1.18447110))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376820491691224-0.37678702472112)×R²
    abs(1.65085095-1.65075508)×3.34669701039236e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.34669701039236e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.34669701039236e-05×40589641000000     		ar = 52976.239267642m²