Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49985 / 58435
↖ ↑ ↗
← N 19.137384°
W 42.712097°		 ← 288.55 m → N 19.137384°
W 42.709351°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.134789°
W 42.712097°		 ← 288.55 m →
83 259 m²		 N 19.134789°
W 42.709351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381359100341797 y=0.445827484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381359100341797 × 217)
    floor (0.381359100341797 × 131072)
    floor (49985.5)     		tx = 49985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445827484130859 × 217)
    floor (0.445827484130859 × 131072)
    floor (58435.5)     		ty = 58435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49985 / 58435 ti = "17/49985/58435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49985/58435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49985 ÷ 217
    49985 ÷ 131072     		x = 0.381355285644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58435 ÷ 217
    58435 ÷ 131072     		y = 0.445823669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381355285644531 × 2 - 1) × π
    -0.237289428710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.74546673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445823669433594 × 2 - 1) × π
    0.108352661132812 × 3.1415926535     		Φ = 0.340399924202019
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74546673} λ = -0.74546673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340399924202019))-π/2
    2×atan(1.40550957547582)-π/2
    2×0.952403343914944-π/2
    1.90480668782989-1.57079632675     		φ = 0.33401036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74546673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.712097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33401036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.137384°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49985 KachelY 58435 -0.74546673 0.33401036 -42.712097 19.137384
    Oben rechts KachelX + 1 49986 KachelY 58435 -0.74541879 0.33401036 -42.709351 19.137384
    Unten links KachelX 49985 KachelY + 1 58436 -0.74546673 0.33396507 -42.712097 19.134789
    Unten rechts KachelX + 1 49986 KachelY + 1 58436 -0.74541879 0.33396507 -42.709351 19.134789
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33401036-0.33396507) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dl = 288.542590000198m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33401036-0.33396507) × R
    4.52900000000311e-05 × 6371000     		dr = 288.542590000198m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74546673--0.74541879) × cos(0.33401036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9447352102291 × 6371000     		do = 288.546450688089m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74546673--0.74541879) × cos(0.33396507) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944750056879379 × 6371000     		du = 288.550985237237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33401036)-sin(0.33396507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.9447352102291-0.944750056879379)×R²
    abs(-0.74541879--0.74546673)×1.48466502795097e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48466502795097e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48466502795097e-05×40589641000000     		ar = 83258.5944364401m²