Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49984 / 58304
↖ ↑ ↗
← N 19.476950°
W 42.714844°		 ← 287.89 m → N 19.476950°
W 42.712097°		 →
↑
287.91 m
↓
↑
287.91 m
↓
N 19.474361°
W 42.714844°		 ← 287.89 m →
82 885 m²		 N 19.474361°
W 42.712097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58304 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381351470947266 y=0.444828033447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381351470947266 × 217)
    floor (0.381351470947266 × 131072)
    floor (49984.5)     		tx = 49984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444828033447266 × 217)
    floor (0.444828033447266 × 131072)
    floor (58304.5)     		ty = 58304
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49984 / 58304 ti = "17/49984/58304"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49984/58304.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49984 ÷ 217
    49984 ÷ 131072     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58304 ÷ 217
    58304 ÷ 131072     		y = 0.44482421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44482421875 × 2 - 1) × π
    0.1103515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.346679658052246
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.346679658052246))-π/2
    2×atan(1.41436357281067)-π/2
    2×0.955366618067884-π/2
    1.91073323613577-1.57079632675     		φ = 0.33993691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33993691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.476950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49984 KachelY 58304 -0.74551466 0.33993691 -42.714844 19.476950
    Oben rechts KachelX + 1 49985 KachelY 58304 -0.74546673 0.33993691 -42.712097 19.476950
    Unten links KachelX 49984 KachelY + 1 58305 -0.74551466 0.33989172 -42.714844 19.474361
    Unten rechts KachelX + 1 49985 KachelY + 1 58305 -0.74546673 0.33989172 -42.712097 19.474361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33993691-0.33989172) × R
    4.51899999999728e-05 × 6371000     		dl = 287.905489999826m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33993691-0.33989172) × R
    4.51899999999728e-05 × 6371000     		dr = 287.905489999826m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74546673) × cos(0.33993691) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.94277570335273 × 6371000     		do = 287.887902610644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74546673) × cos(0.33989172) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.942790769983922 × 6371000     		du = 287.89250338773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33993691)-sin(0.33989172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94277570335273-0.942790769983922)×R²
    abs(-0.74546673--0.74551466)×1.50666311921066e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.50666311921066e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.50666311921066e-05×40589641000000     		ar = 82885.1699746701m²