Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49984 / 58048
↖ ↑ ↗
← N 20.138470°
W 42.714844°		 ← 286.69 m → N 20.138470°
W 42.712097°		 →
↑
286.69 m
↓
↑
286.69 m
↓
N 20.135892°
W 42.714844°		 ← 286.70 m →
82 194 m²		 N 20.135892°
W 42.712097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381351470947266 y=0.442874908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381351470947266 × 217)
    floor (0.381351470947266 × 131072)
    floor (49984.5)     		tx = 49984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442874908447266 × 217)
    floor (0.442874908447266 × 131072)
    floor (58048.5)     		ty = 58048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49984 / 58048 ti = "17/49984/58048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49984/58048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49984 ÷ 217
    49984 ÷ 131072     		x = 0.38134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58048 ÷ 217
    58048 ÷ 131072     		y = 0.44287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38134765625 × 2 - 1) × π
    -0.2373046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74551466
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44287109375 × 2 - 1) × π
    0.1142578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.35895150435498
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74551466} λ = -0.74551466}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35895150435498))-π/2
    2×atan(1.43182736249643)-π/2
    2×0.961139470026334-π/2
    1.92227894005267-1.57079632675     		φ = 0.35148261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74551466} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.714844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35148261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.138470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49984 KachelY 58048 -0.74551466 0.35148261 -42.714844 20.138470
    Oben rechts KachelX + 1 49985 KachelY 58048 -0.74546673 0.35148261 -42.712097 20.138470
    Unten links KachelX 49984 KachelY + 1 58049 -0.74551466 0.35143761 -42.714844 20.135892
    Unten rechts KachelX + 1 49985 KachelY + 1 58049 -0.74546673 0.35143761 -42.712097 20.135892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35148261-0.35143761) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dl = 286.694999999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35148261-0.35143761) × R
    4.49999999999617e-05 × 6371000     		dr = 286.694999999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74551466--0.74546673) × cos(0.35148261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938863296882702 × 6371000     		do = 286.69320222877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74551466--0.74546673) × cos(0.35143761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.938878788989003 × 6371000     		du = 286.697932929799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35148261)-sin(0.35143761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938863296882702-0.938878788989003)×R²
    abs(-0.74546673--0.74551466)×1.54921063011404e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54921063011404e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54921063011404e-05×40589641000000     		ar = 82194.1857608936m²