Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 49982 / 58050
↖ ↑ ↗
← N 20.133313°
W 42.720337°		 ← 286.76 m → N 20.133313°
W 42.717590°		 →
↑
286.76 m
↓
↑
286.76 m
↓
N 20.130734°
W 42.720337°		 ← 286.77 m →
82 232 m²		 N 20.130734°
W 42.717590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49982 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58050 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381336212158203 y=0.442890167236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381336212158203 × 217)
    floor (0.381336212158203 × 131072)
    floor (49982.5)     		tx = 49982
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442890167236328 × 217)
    floor (0.442890167236328 × 131072)
    floor (58050.5)     		ty = 58050
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49982 / 58050 ti = "17/49982/58050"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49982/58050.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49982 ÷ 217
    49982 ÷ 131072     		x = 0.381332397460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58050 ÷ 217
    58050 ÷ 131072     		y = 0.442886352539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381332397460938 × 2 - 1) × π
    -0.237335205078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74561054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442886352539062 × 2 - 1) × π
    0.114227294921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.35885563055574
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74561054} λ = -0.74561054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35885563055574))-π/2
    2×atan(1.43169009434764)-π/2
    2×0.961094463088029-π/2
    1.92218892617606-1.57079632675     		φ = 0.35139260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74561054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.720337°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35139260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.133313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49982 KachelY 58050 -0.74561054 0.35139260 -42.720337 20.133313
    Oben rechts KachelX + 1 49983 KachelY 58050 -0.74556260 0.35139260 -42.717590 20.133313
    Unten links KachelX 49982 KachelY + 1 58051 -0.74561054 0.35134759 -42.720337 20.130734
    Unten rechts KachelX + 1 49983 KachelY + 1 58051 -0.74556260 0.35134759 -42.717590 20.130734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35139260-0.35134759) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dl = 286.758710000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35139260-0.35134759) × R
    4.5010000000012e-05 × 6371000     		dr = 286.758710000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74561054--0.74556260) × cos(0.35139260) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938894282636131 × 6371000     		do = 286.762481056386m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74561054--0.74556260) × cos(0.35134759) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.938909774381154 × 6371000     		du = 286.767212634073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35139260)-sin(0.35134759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938894282636131-0.938909774381154)×R²
    abs(-0.74556260--0.74561054)×1.54917450221337e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.54917450221337e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.54917450221337e-05×40589641000000     		ar = 82232.3175685943m²