Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49981 / 58061
↖ ↑ ↗
← N 20.104944°
W 42.723083°		 ← 286.75 m → N 20.104944°
W 42.720337°		 →
↑
286.82 m
↓
↑
286.82 m
↓
N 20.102365°
W 42.723083°		 ← 286.76 m →
82 248 m²		 N 20.102365°
W 42.720337°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49981 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381328582763672 y=0.442974090576172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381328582763672 × 217)
    floor (0.381328582763672 × 131072)
    floor (49981.5)     		tx = 49981
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.442974090576172 × 217)
    floor (0.442974090576172 × 131072)
    floor (58061.5)     		ty = 58061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49981 / 58061 ti = "17/49981/58061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49981/58061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49981 ÷ 217
    49981 ÷ 131072     		x = 0.381324768066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58061 ÷ 217
    58061 ÷ 131072     		y = 0.442970275878906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381324768066406 × 2 - 1) × π
    -0.237350463867188 × 3.1415926535     		Λ = -0.74565847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.442970275878906 × 2 - 1) × π
    0.114059448242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.35832832465992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74565847} λ = -0.74565847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.35832832465992))-π/2
    2×atan(1.43093535472672)-π/2
    2×0.960846898386671-π/2
    1.92169379677334-1.57079632675     		φ = 0.35089747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74565847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.723083°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.35089747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.104944°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49981 KachelY 58061 -0.74565847 0.35089747 -42.723083 20.104944
    Oben rechts KachelX + 1 49982 KachelY 58061 -0.74561054 0.35089747 -42.720337 20.104944
    Unten links KachelX 49981 KachelY + 1 58062 -0.74565847 0.35085245 -42.723083 20.102365
    Unten rechts KachelX + 1 49982 KachelY + 1 58062 -0.74561054 0.35085245 -42.720337 20.102365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.35089747-0.35085245) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dl = 286.822420000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.35089747-0.35085245) × R
    4.50200000000067e-05 × 6371000     		dr = 286.822420000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74565847--0.74561054) × cos(0.35089747) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.939064594083456 × 6371000     		do = 286.754670749961m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74565847--0.74561054) × cos(0.35085245) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.93908006833938 × 6371000     		du = 286.759396000163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.35089747)-sin(0.35085245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939064594083456-0.93908006833938)×R²
    abs(-0.74561054--0.74565847)×1.54742559245191e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.54742559245191e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.54742559245191e-05×40589641000000     		ar = 82248.3462785597m²