Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49980 / 50241
↖ ↑ ↗
← S 68.786132°
E 94.548340°		 ← 221.04 m → S 68.786132°
E 94.553833°		 →
↑
221.01 m
↓
↑
221.01 m
↓
S 68.788119°
E 94.548340°		 ← 221.02 m →
48 849 m²		 S 68.788119°
E 94.553833°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50241 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762641906738281 y=0.766624450683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762641906738281 × 216)
    floor (0.762641906738281 × 65536)
    floor (49980.5)     		tx = 49980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.766624450683594 × 216)
    floor (0.766624450683594 × 65536)
    floor (50241.5)     		ty = 50241
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49980 / 50241 ti = "16/49980/50241"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49980/50241.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49980 ÷ 216
    49980 ÷ 65536     		x = 0.76263427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50241 ÷ 216
    50241 ÷ 65536     		y = 0.766616821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76263427734375 × 2 - 1) × π
    0.5252685546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65017983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.766616821289062 × 2 - 1) × π
    -0.533233642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.67520289412248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65017983} λ = 1.65017983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.67520289412248))-π/2
    2×atan(0.187270179608353)-π/2
    2×0.185125925586147-π/2
    0.370251851172293-1.57079632675     		φ = -1.20054448
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65017983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.548340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20054448 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.786132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49980 KachelY 50241 1.65017983 -1.20054448 94.548340 -68.786132
    Oben rechts KachelX + 1 49981 KachelY 50241 1.65027571 -1.20054448 94.553833 -68.786132
    Unten links KachelX 49980 KachelY + 1 50242 1.65017983 -1.20057917 94.548340 -68.788119
    Unten rechts KachelX + 1 49981 KachelY + 1 50242 1.65027571 -1.20057917 94.553833 -68.788119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20054448--1.20057917) × R
    3.46899999998929e-05 × 6371000     		dl = 221.009989999317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20054448--1.20057917) × R
    3.46899999998929e-05 × 6371000     		dr = 221.009989999317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65017983-1.65027571) × cos(-1.20054448) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.361850224148209 × 6371000     		do = 221.036744959632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65017983-1.65027571) × cos(-1.20057917) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.361817884655174 × 6371000     		du = 221.016990332449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20054448)-sin(-1.20057917))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.361850224148209-0.361817884655174)×R²
    abs(1.65027571-1.65017983)×3.23394930346055e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.23394930346055e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.23394930346055e-05×40589641000000     		ar = 48849.1458127872m²