Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 49975 / 49817
↖ ↑ ↗
← S 67.927205°
E 94.520874°		 ← 229.55 m → S 67.927205°
E 94.526367°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
S 67.929269°
E 94.520874°		 ← 229.53 m →
52 675 m²		 S 67.929269°
E 94.526367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49975 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.762565612792969 y=0.760154724121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.762565612792969 × 216)
    floor (0.762565612792969 × 65536)
    floor (49975.5)     		tx = 49975
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760154724121094 × 216)
    floor (0.760154724121094 × 65536)
    floor (49817.5)     		ty = 49817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 49975 / 49817 ti = "16/49975/49817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/49975/49817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49975 ÷ 216
    49975 ÷ 65536     		x = 0.762557983398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49817 ÷ 216
    49817 ÷ 65536     		y = 0.760147094726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.762557983398438 × 2 - 1) × π
    0.525115966796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.64970046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760147094726562 × 2 - 1) × π
    -0.520294189453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63455240324467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.64970046} λ = 1.64970046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63455240324467))-π/2
    2×atan(0.19503965087959)-π/2
    2×0.192621475561338-π/2
    0.385242951122677-1.57079632675     		φ = -1.18555338
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.64970046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 94.520874°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18555338 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.927205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49975 KachelY 49817 1.64970046 -1.18555338 94.520874 -67.927205
    Oben rechts KachelX + 1 49976 KachelY 49817 1.64979634 -1.18555338 94.526367 -67.927205
    Unten links KachelX 49975 KachelY + 1 49818 1.64970046 -1.18558940 94.520874 -67.929269
    Unten rechts KachelX + 1 49976 KachelY + 1 49818 1.64979634 -1.18558940 94.526367 -67.929269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18555338--1.18558940) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18555338--1.18558940) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.64970046-1.64979634) × cos(-1.18555338) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.375784288370679 × 6371000     		do = 229.548388711825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.64970046-1.64979634) × cos(-1.18558940) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.375750908134844 × 6371000     		du = 229.527998345363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18555338)-sin(-1.18558940))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.375784288370679-0.375750908134844)×R²
    abs(1.64979634-1.64970046)×3.33802358345459e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.33802358345459e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.33802358345459e-05×40589641000000     		ar = 52675.2096770121m²