Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 49972 / 83892
↖ ↑ ↗
← S 44.941473°
W 42.747803°		 ← 216.19 m → S 44.941473°
W 42.745056°		 →
↑
216.17 m
↓
↑
216.17 m
↓
S 44.943417°
W 42.747803°		 ← 216.18 m →
46 732 m²		 S 44.943417°
W 42.745056°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 49972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83892 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381259918212891 y=0.640048980712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381259918212891 × 217)
    floor (0.381259918212891 × 131072)
    floor (49972.5)     		tx = 49972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640048980712891 × 217)
    floor (0.640048980712891 × 131072)
    floor (83892.5)     		ty = 83892
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 49972 / 83892 ti = "17/49972/83892"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/49972/83892.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 49972 ÷ 217
    49972 ÷ 131072     		x = 0.381256103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83892 ÷ 217
    83892 ÷ 131072     		y = 0.640045166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381256103515625 × 2 - 1) × π
    -0.23748779296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74608991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640045166015625 × 2 - 1) × π
    -0.28009033203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.879929729425751
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74608991} λ = -0.74608991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.879929729425751))-π/2
    2×atan(0.414812059739087)-π/2
    2×0.393209823037047-π/2
    0.786419646074093-1.57079632675     		φ = -0.78437668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74608991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.747803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78437668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.941473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 49972 KachelY 83892 -0.74608991 -0.78437668 -42.747803 -44.941473
    Oben rechts KachelX + 1 49973 KachelY 83892 -0.74604197 -0.78437668 -42.745056 -44.941473
    Unten links KachelX 49972 KachelY + 1 83893 -0.74608991 -0.78441061 -42.747803 -44.943417
    Unten rechts KachelX + 1 49973 KachelY + 1 83893 -0.74604197 -0.78441061 -42.745056 -44.943417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78437668--0.78441061) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dl = 216.168029999744m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78437668--0.78441061) × R
    3.39299999999598e-05 × 6371000     		dr = 216.168029999744m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74608991--0.74604197) × cos(-0.78437668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707828709990549 × 6371000     		do = 216.189107541967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74608991--0.74604197) × cos(-0.78441061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.707804741970105 × 6371000     		du = 216.181787091587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78437668)-sin(-0.78441061))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707828709990549-0.707804741970105)×R²
    abs(-0.74604197--0.74608991)×2.39680204446868e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39680204446868e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39680204446868e-05×40589641000000     		ar = 46732.3822656306m²